Equations paramètriques d'un hypocycloïde

[Bleyblue]

Bonjour,

Les équations paramètriques d'une hypocycloïde (courbe décrite par un point P fixe d'un cercle C de rayon b lorsque C roule à l'intérieur d'un cercle de rayon a) sont (phi étant l'angle que fait le centre du cercle C avec l'axe Ox) :




et j'essaie de le démontrer (dessin à l'appui bien sûr ) mais j'ai quelques petits problèmes ...
Je ne comprend pas bien ce que représente ce (a - b)/b qui mutliplie l'angle phi .

Pouvez vous m'aidez d'une manière ou d'une autre ? (si vous connaissez un document qui puisse m'éclairer je veux bien ) car je vient de passer plusieurs heures la dessus, sans succes

Merci
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[invitec314d025]

je crois savoir d'où vient ton problème
si tu préfererais avoir :




c'est que tu oublies que le petit cercle tourne à la fois d'un angle (comme s'il glissait) et d'un angle engendré par le roulement.

si c'est pas ça ton problème, explique un peu plus

[invitec314d025]

Si ton problème est plus général, voici quelques explications plus détaillées.
Les coordonnées du centre du petit cercle sont évidemment :




Maintenant le petit cercle roule sans glisser sur le grand, et la longueur d'arc mis en contact au cours du roulement est , ce qui correspond à une rotation de du petit cercle (qui tourne en sens inverse), à laquelle il faut ajouter .

Pour t'en convaincre, imagine une rotation du grand cercle d'un angle . Le petit cercle tourne de , et le repère de .
Donc pour revenir dans le repère d'origine, il faut bien rajouter .

ce qui donne bien:

[Bleyblue]

Maintenant le petit cercle roule sans glisser sur le grand, et la longueur d'arc mis en contact au cours du roulement est , ce qui correspond à une rotation de du petit cercle (qui tourne en sens inverse), à laquelle il faut ajouter .

Pour t'en convaincre, imagine une rotation du grand cercle d'un angle . Le petit cercle tourne de , et le repère de .
Donc pour revenir dans le repère d'origine, il faut bien rajouter .

ce qui donne bien:

Oui c'est bien ça qui pose problème, ben en fait j'ai très dur à visualiser ce quez représenté ce -a/b mais je vais encore essayer, ça va bien finir par venire ...

Merci beaucoup !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Pourquoi est ce exactement par le rapport entre a et b qu'il faut mutiplier l'angle phi dis ? Moi ça ne me parait pas évident ...

Merci

[invitec314d025]

Quand il y a roulement sans glissement, la longueur d'arc parcourue sur le grand cercle est égale à la longueur d'arc parcourue sur le petit.
Comme dans un cercle de rayon R, la longueur d'un arc d'angle a est Ra (a en radiant), avec l'angle phi tu trouves la longueur sur le grand cercle, et tu calcules l'angle correspondant sur le petit.

[Bleyblue]

ahhhhhh oui, tout s'éclaire maintenant ... je n'avais pas pensé à cela !

Merci mille fois !