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Equations paramètriques d'un hypocycloïde



  1. #1
    Bleyblue

    Equations paramètriques d'un hypocycloïde


    ------

    Bonjour,

    Les équations paramètriques d'une hypocycloïde (courbe décrite par un point P fixe d'un cercle C de rayon b lorsque C roule à l'intérieur d'un cercle de rayon a) sont (phi étant l'angle que fait le centre du cercle C avec l'axe Ox) :




    et j'essaie de le démontrer (dessin à l'appui bien sûr ) mais j'ai quelques petits problèmes ...
    Je ne comprend pas bien ce que représente ce (a - b)/b qui mutliplie l'angle phi .

    Pouvez vous m'aidez d'une manière ou d'une autre ? (si vous connaissez un document qui puisse m'éclairer je veux bien ) car je vient de passer plusieurs heures la dessus, sans succes

    Merci

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    matthias

    Re : Equations paramètriques d'un hypocycloïde

    je crois savoir d'où vient ton problème
    si tu préfererais avoir :




    c'est que tu oublies que le petit cercle tourne à la fois d'un angle (comme s'il glissait) et d'un angle engendré par le roulement.

    si c'est pas ça ton problème, explique un peu plus

  4. #3
    matthias

    Re : Equations paramètriques d'un hypocycloïde

    Si ton problème est plus général, voici quelques explications plus détaillées.
    Les coordonnées du centre du petit cercle sont évidemment :




    Maintenant le petit cercle roule sans glisser sur le grand, et la longueur d'arc mis en contact au cours du roulement est , ce qui correspond à une rotation de du petit cercle (qui tourne en sens inverse), à laquelle il faut ajouter .

    Pour t'en convaincre, imagine une rotation du grand cercle d'un angle . Le petit cercle tourne de , et le repère de .
    Donc pour revenir dans le repère d'origine, il faut bien rajouter .

    ce qui donne bien:



  5. #4
    Bleyblue

    Re : Equations paramètriques d'un hypocycloïde

    Citation Envoyé par mathias
    Maintenant le petit cercle roule sans glisser sur le grand, et la longueur d'arc mis en contact au cours du roulement est , ce qui correspond à une rotation de du petit cercle (qui tourne en sens inverse), à laquelle il faut ajouter .

    Pour t'en convaincre, imagine une rotation du grand cercle d'un angle . Le petit cercle tourne de , et le repère de .
    Donc pour revenir dans le repère d'origine, il faut bien rajouter .

    ce qui donne bien:


    Oui c'est bien ça qui pose problème, ben en fait j'ai très dur à visualiser ce quez représenté ce -a/b mais je vais encore essayer, ça va bien finir par venire ...

    Merci beaucoup !

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Bleyblue

    Re : Equations paramètriques d'un hypocycloïde

    Pourquoi est ce exactement par le rapport entre a et b qu'il faut mutiplier l'angle phi dis ? Moi ça ne me parait pas évident ...

    Merci

  8. #6
    matthias

    Re : Equations paramètriques d'un hypocycloïde

    Quand il y a roulement sans glissement, la longueur d'arc parcourue sur le grand cercle est égale à la longueur d'arc parcourue sur le petit.
    Comme dans un cercle de rayon R, la longueur d'un arc d'angle a est Ra (a en radiant), avec l'angle phi tu trouves la longueur sur le grand cercle, et tu calcules l'angle correspondant sur le petit.

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  10. #7
    Bleyblue

    Re : Equations paramètriques d'un hypocycloïde

    ahhhhhh oui, tout s'éclaire maintenant ... je n'avais pas pensé à cela !

    Merci mille fois !

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