[MPSI] Endomorphisme

[invitef45cc474]

Salut tout le monde...
J'ai un problème dans l'exo que j'ai joint, pour la question b.
Imf=Rn-1[X] ça c'est ok (bien que je n'ais pas l'inclusion Rn-1[X]CImf mais bon ça prendrait 4 pages de calcul c'est pas grave).
J'ai pas mis le début de l'exo mais on a déterminé un élément Pn qui appartient à Kerf et qui est non nul.
Je veux montrer que kerf est une droite pour ensuite pouvoir dire que Kerf=Vect(Pn), mais je n'arrive vraiment pas à le montrer...
Dans le cours on a Kerf hyperplan <=> Imf droite, mais on a pas de propriété pour dire rapidement qu'un noyau est une droite. Or la question demande explicitement de déterminer Imf, idonc je dois louper quelque chose, mais je vois pas quoi
-----

[invitee65b1c3d]

Tu n'aurais pas vu théorème qui s'appelle (enfin, s'appelait à mon époque, ça a pu changer) "théorème du rang" ?
Ce théorème dit que la somme de la dimension du noyau et de la dimension de l'image d'un endomorphisme est égale à la dimension de l'espace.
Cela permet de montrer que si Im f est un hyperplan alors Ker f est une droite.

[invitec314d025]

Bien sûr, une fois que tu as Im(f), et que tu as montré qu'il était de dimension n-1, tu as la dimension de Ker(f) grâce au théorème du rang (1 en l'occurence).

Pour avoir Im(f), c'est pas bien dur.
pour p=d°(P) < n, d°(f(P)) = p
donc que peux-tu dire de ?

[invitef45cc474]

ok alors le théorème du rang c'est exactement ce que je cherchais... on l'a pas fait en cours mais ça se démontre en 3 lignes avec ce qu'on a déjà fait donc c'est bon, ça roule merci

et pour (f(1), ..., f(X^n-1)) c'est une famille génératrice de Imf, et libre donc une base de Imf... et ça ça permet de dire que Imf=Rn-1[X] ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec314d025]