Analyse L1 info

[inviteb7348d1c]

Bonjour
Je suis étudiant en L1 informatique et bien sur j'ai des cours d'analyse.
Toute fois j'ai beaucoup de mal avec cette matière qui est a mon gout beaucoup trop abstraite (je n'ai pas fait de maths depuis 2 ans et demis) j'ai donc plusieurs questions a vous posez :

Connaissez vous des sites me permettant d'avoir accès a des cours reprenant les connaissances depuis le début en les approndissant un maximum ?

Les questions suivantes sont a propos d'un exercice que je dois faire pour mardi prochain et pour lequel je ne suis pas du tout sur de moi.

Voici donc l'énoncé de mon exercice :

Pour chacune des fonctions f : D ---> IR suivantes, montrer que lim(x->a) f(x) = f(a) pour tout a appartenant à D (on commencera par n'utiliser que la définition d'une limite) :

1) D = IR, f(x)=x^n (n appartenant à IN* donné); on pourra montrer d'abord l'identité :
x^n - y^n = (x-y)* (somme pour k=0 à n-1 de : ) x^k * y^(n-1-k).

2) D = IR, f est un polynôme quelconque (on pourra déduire de la question précédente que, pour tout a appartenant à IR, il existe un polynôme g tel que f(x)-f(a) = (x-a)g(x) pour tout x appartenant a IR).

voila ma reponse pour la question 1:

D = IR, f(x)=x^n (n appartenant à IN*)
tout d'abord montrons que :
x^n - y^n = (x-y)* (somme pour k=0 à n-1 de : ) x^k * y^(n-1-k)

Les identité remarquables et la propriéte de distributivité de la multiplication sur l'addition fournissent des methodes elementaire de factorisation de polynomes. Grace a cela nous savons que :

quelque soit n>= 1 on a :
x^n - y^n = (x-y)(x^(n-1)+yx^(n-2)+...+y^k*x^(n-1-k)+...y^(n-1))
avec : x^n - y^n = P(x) et
(x^(n-1)+yx^(n-2)+...+y^k*x^(n-1-k)+...y^(n-1) = (somme pour k=0 à n-1 de : ) x^k * y^(n-1-k) = G(x)
on a donc P(x) = (x-y) Q(x)
L'identité est donc bien montrée.

Maintenant montrons que lim(x->a)f(x) = f(a)
on a f(x) = x^n
lim (x->a) f(x) = f(a)
si et seulement si quelque soit E>0, il existe V>0 tel que
0<|x-a|< V
on a alors :
|f(x)-f(a)| < E
soit E>0 ;
f(x) = x^n
f(a) = a^n
ce qui entraine que
|f(x)-f(a)| = |x^n-a^n|= ... = |x-a| |(somme pour k=0 à n-1 de : ) x^k * y^(n-1-k) |
et donc |f(x)-f(a)| <= (|x|-|a|) * |(somme pour k=0 à n-1 de : ) x^k * y^(n-1-k) |
or quelque soit x appartenant a ]-2*|(somme pour k=0 à n-1 de : ) x^k * y^(n-1-k)+1 ; +2|(somme pour k=0 à n-1 de : ) x^k * y^(n-1-k) |+1)
on a |f(x)-f(a)|<= 2(x-a) (somme pour k=0 à n-1 de : ) x^k * y^(n-1-k)

donc dès que 0< |x-a| < E / (2 (x-a) (somme pour k=0 à n-1 de : ) x^k * y^(n-1-k))
on a :
|f(x)- f(a)|< E

voila pour la question 2 :

D=IR
f est un polynome
d'aprés la quetion prevedente nous savons que quelque soit a appartenant a IR il existe un polynome g tel que f(x)- f(a) = (x-a)g(x) et ce quelque soit x appartenant a IR.

montrons que lim (x->a) f(x) = f(a)
avec f(x) = (somme pour i=0 à n de) µi x^i

lim (x->a) f(x) = f(a)
si et seulemen si quelque soit E>0, il existe N>0 tel que
0<|x-a|<N
=> |f(x)-f(a)|<E
soit E>0, f(x) = (somme pour i=0 à n de) µi x^i
et f(a) = (somme pour i=0 à n de) µi a^i

d'ou |f(x)-f(a)| = n* (somme pour i=0 à n de) (x^i - a^i)
= n* (somme pour i=0 à n de) (x^i - a^i) (x^i + a^i)

or quelque soit x appartenant a ]-2n(|SOMME|+1) ; +2n(|SOMME|+1)[

on a |x|<= 2n(|SOMME|+1)

on a |f(x)-f(a)|<= 2n|x-a|SOMME
dons des que 0<x-a< E/ (2n|x-a|SOMME)
on a |f(x)-f(a)| < E

pensez vous que tout ça semble correct ? sinon pourriez vous m'expliquer mes erreurs ?
merci d'avance
-----

[invite3240c37d]

Non, ce n'est pas correct !
1)Tout d'abord tu ne démontres pas l'identité . Pour cela on peut écrire :

Je te laisse voir les termes qui se télescopent, etc ...
Ensuite pour le calcul de la limite en , que vient faire là dedans ?! . Observe plutôt que :

Je te laisse voir comment choisir pour obtenir

2) , donc comme en 1) tu peux écrire :

Je te laisse choisir ...

[inviteb7348d1c]

ok merci
pour u existe t'il une formule generale a suivre ?

[inviteb7348d1c]

voila ma nouvelle version : mieu moins bien genial catastrophique ? dites moi tout svp

QUESTION 1

D = IR, f(x)=x^n (n appartenant à IN*)
tout d'abord montrons que :
x^n - y^n = (x-y)* (somme pour k=0 à n-1 de : ) x^k * y^(n-1-k)

Démontrons l’ identité :

= (x^n-y^n)

Identité est donc demontrée.

Maintenant montrons que lim(x->a)f(x) = f(a)
on a f(x) = x^n
lim (x->a) f(x) = f(a)
si et seulement si quelque soit E>0, il existe V>0 tel que
0<|x-a|< V
on a alors :
|f(x)-f(a)| < E
soit E>0 ;
f(x) = x^n
f(a) = a^n

Avec u = |x-a|/2

or quelque soit x appartenant a ]-u*somme ; +u*somme[
on a |f(x)-f(a)|<= +u somme

donc dès que 0< |x-a| < E / ( (x-a)/2) * (somme )
on a :
|f(x)- f(a)|< E

QUESTION 2
D=IR
f est un polynôme
d'après la question précédente nous savons que quelque soit a appartenant a IR il existe un polynôme g tel que f(x)- f(a) = (x-a)g(x) et ce quelque soit x appartenant a IR.

montrons que lim (x->a) f(x) = f(a)
avec f(x) = (somme pour i=0 à n de) µi x^i

lim (x->a) f(x) = f(a)
si et seulement si quelque soit E>0, il existe N>0 tel que
0<|x-a|<N
=> |f(x)-f(a)|<E
soit E>0, f(x) = (somme pour i=0 à n de) µi x^i
et f(a) = (somme pour i=0 à n de) µi a^i



Avec u = |x-a|/2

or quelque soit x appartenant a ]-u*somme ; +u*somme[
on a |f(x)-f(a)|<= +u somme

donc dès que 0< |x-a| < E / ( (x-a)/2) * (somme )
on a :
|f(x)- f(a)|< E

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3240c37d]

Ce n'est pas mieux !
Je te rappelle que pour la limite il faut montrer que pour tout il existe ,
dépendant de mais pas de , tel que
Pour la question 1) il suffit de prendre . Je te laisse voir pour la question 2)
..

[inviteb7348d1c]

doncp our la question 1 la reponse correcte eest :

D = IR, f(x)=x^n (n appartenant à IN*)
tout d'abord montrons que :
x^n - y^n = (x-y)* (somme pour k=0 à n-1 de : ) x^k * y^(n-1-k)

Démontrons l’ identité :

= (x^n-y^n)

Identité est donc demontrée.

Maintenant montrons que lim(x->a)f(x) = f(a)
on a f(x) = x^n
lim (x->a) f(x) = f(a)
si et seulement si quelque soit E>0, il existe V>0 tel que
0<|x-a|< V
on a alors :
|f(x)-f(a)| < E
soit E>0 ;
f(x) = x^n
f(a) = a^n


Avec

or quelque soit x appartenant a ]-u*somme ; +u*somme[
on a |f(x)-f(a)|<= +u somme

donc dès que 0< |x-a| < E / ( n(1+|a|^n-1)) * (somme )
on a :
|f(x)- f(a)|< E


ou pas ?