probleme avec les morphisme

[invite69d45bb4]

bonjour. avant de poser ma question voila l'enoncé de l'exercice:"soit G et G' 2 groupes notés multiplicativement et f un morphisme de G dans G'.montrer que l'image par f d'un sous groupe de G est un sous groupe de G' et que l'image reciproque d'un sous groupe de G' est un sous groupe de G.retrouver les cas particuliers de l'image et du noyau de f." en regardant le corrigé j'ai vu que pour la derniere question ou il s'agit de retrouver les cas particuliers, on retrouve les resultats du cours c'est à dire que Im f =f(G) et ker f= f^-1{(e')}.ce que je ne comprends pas c'est comment on retrouve ces resultats lorsque l'on doit montrer que l'image par f d'un sous groupe de G est un sous groupe de G' et l'image reciproque d'un sous groupe de G' est un sous groupe de G.merci d'avance pour vos reponses.
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[invite57a1e779]

Bonjour,

1. est l'image par du sous-groupe de , donc c'est un sous-groupe de .

2. est l'image réciproque par du sous-groupe de , donc c'est un sous-groupe de .

[invite69d45bb4]

en fait si j'ai bien compris lorsqu'on a prouvé que l'image par f d'un sous groupe de G est un sous groupe de G' et que l'image reciproque d'un sous groupe de G' est un sous groupe de G alors seulemnts làon peut retrouver les resultats des cas particulier de l'image et du noyau de f.c'est ca non ?

[invite986312212]

salut,

logiquement, tu pourrais montrer que l'image et le noyau sont des sous-groupes sans démontrer le résultat général, mais en fait ça représente le même effort (c'est essentiellement la même démonstration), donc autant le faire dans le cas général.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69d45bb4]

heu desolé de ne pas comprendre mais est ce que ca veut dire que j'ai raison ?

[invitebe0cd90e]

heu desolé de ne pas comprendre mais est ce que ca veut dire que j'ai raison ?

Oui et non Le "alors seulement" est de trop, mais en gros oui, si tu connais la propriété generale qui dit que l' images (directe ou reciproque) d'un sous groupe est un sous groupe, alors le cas de Im et de Ker tombe comme un cas particulier.

[invite69d45bb4]

mais pourquoi le "alors seulement " est de trops .parce que dans l'enoncé on demande bien de retrouver les cas particulier de l'image et du noyau de f et comme on a prouver que c'etaient des sous groupes normalement les cas particulier en decoulent directement, non ?

[invite69d45bb4]

bonjour.quelqu'un peut il me dire pourquoi mon "alors seulement" est de trops?merci d'avance.

[invitea0ece8ff]

Le probleme venai du "seulement", pas du "alors".

Si on a le cas général, alors on a le cas particulier.
mais pas:
Si on a le cas général, alors seulement on a le cas particulier.
Car on peut avoir le cas particulier, sans avoir le cas général.

[invite69d45bb4]

merci beaucoup pour tous ces eclairements.