produits semi directs N X Z/nZ

[invite7d82c9f3]

Bonjour. J'ai une question sur l'exercice I.34 P.68 de Pascal Ortiz (algèbre). Il porte sur les produits semi directs N X Z/nZ.
On commence par montrer que si l'on se donne deux morphismes f et g de Z/nZ dans G, G groupe quelconque, ((*) ces morphismes sont bien sur déterminés par l'image de la classe de 1(Rq: on note cette classe [1])), si Imf et Img sont conjugués dans G alors il existe un entier s premier avec n et un élément x de G tels que xf([1])x^-1 =g([s]). Pour cela on écrit que im(g)=xim(f)x^-1 donc avec la remarque (*), on a g([1])^b=xf([1])x-1 pour un entier b. On note a l'ordre commun de Imf et Img (ils sont conjugués).
Voici ma question : on sait que l'ordre de g([1])^b est a. Montrer alors que a et b sont premiers entre eux.
Merci d'avance pour votre aide.
François
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[invite57a1e779]

Bonjour,

On sait que et sont cycliques d'ordre , engendrés respectivement par et . Il s'avère que engendre .
C'est une simple question de générateurs de groupe cycliques : et sont premiers entre eux.

[invite7d82c9f3]

Merci!
En fait si j'ai bien compris, c'est la propriété suivante : H groupe cyclique d'ordre n engendré par y, H=<y> alors : (H=<y^b>) <=> (n,b)=1.
Tout est clair alors.

[invite57a1e779]

En fait si j'ai bien compris

Oui, tu as bien compris.

[A voir en vidéo sur Futura]