Différentes demonstrations avec Ker et Im

[invitedad19d55]

Bonjours a tous, voila je suis coincé a un Dm où il faut demontrer 3 régles :

Soient f , g : E->F linéaires.
-Montrer que Ker(f +g) ⊃ Ker(f) ∩Ker(g)
-Montrer que Im(fog) est inclus dans Im(f)
-Montrer que Ker(f) est inclus dans Ker(gof)

Voila, alors pour commencer, j'ai devellopé Kerf, Kerg... et Imf, Img...

Kerf = {x∈E / f(x) = Of} = {f(x) / x∈E} = {U∈E}
on a la droite vectoriel de base U de dim 1

Kerg = {y∈E / g(y) = Of} = {g(y) / y∈E} = {V∈E}
on a la droite vectoriel de base V de dim 1

Ker(f+g) = {(x,y)∈E / h(x+y) = Of} = {h(x+y) / (x,y)∈E} = {(U,V)∈E}
on a la droite vectoriel de base (U,V) de dim 2

Ker(gof) = {a∈E / f(a) = y / g(f(a) = Of} = {g(f(a)) / a∈E} = {W∈E}
on a la droite vectoriel de base W de dim 1

Imf = {f(E)} = Vect{U}
Img = {g(E)} = Vect{V}
Im(fog) = {f(g(E))} = Vect{W}

-Ensuite pour la premiére régle
Avec Kerf inter Kerg, on obtient la somme des vecteurs U et V. Et on sait que ker(f+g) est composé par les méme vecteurs U et V.
Je trouve donc logique que Ker(f+g) soit inclu dans kerf inter kerg mais je ne voit pas comment le montrer

-Seconde régle
dans ce cas, je ne vois pas le lien...

-derniére régle
Pour que gof (x) = Of, f(x) doit etre egale a y car j'ai démontrer que kerg = Of pour g(x) = g(y). Mais egalment je ne vois pas le lien...

Pouvez vous m'aider ?
-----

[inviteec9de84d]

Salut,

Voila, alors pour commencer, j'ai devellopé Kerf, Kerg... et Imf, Img...

Kerf = {x∈E / f(x) = Of} = {f(x) / x∈E} = {U∈E}
on a la droite vectoriel de base U de dim 1

ça me parait bien confus tout ça...Kerf = {x∈E / f(x) = Of} ok.
{f(x)∈F / x∈E} est la définition de Im(f) !

Pareil pour tout le reste.
La première démonstration n'est pas dure :
soit , que peux-tu écrire sur f(x), g(x) et enfin (f+g)(x) ?

[inviteec9de84d]

Une petite bourde :

{f(x) / x∈E} est la définition de Im(f)

[invitedad19d55]

Kerf = {x∈E / f(x) = Of} et Kerg = {x∈E / g(x) = 0f}

Si x∈(Kerf∩Kerg) alors je dirais que f(x)=g(x)=0f et donc
(f+g)(x) = f(x) + g(x) = 0f + 0f = 0f

On obtiens les méme resultats, on peut donc dire que l'inclusion est vrai.
J'ai juste ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee625533c]

Bonjour,

oui t'as juste et là, t'es plus rigoureux dans ton écriture qu'au début,
mais ce n'est pas 0f, c'est 0F ou plus exactement 0_F (élément neutre de l'espace vectoriel F).

Quand tu écris au début

Kerf = {x∈E / f(x) = Of} = {f(x) / x∈E} = {U∈E}

* (c'est 0_F encore) et il n' y a pas égalité: tu confonds Ker(f) et Im(f) (même si toi tu penses à l'intersection des deux je suppose);
* que signifie la lettre U ? ça n'a pas de sens et c'est confus comme on avait dit.

Les deux dernières questions sont aussi faciles, mais pour que les écritures fog et gof aient un sens, il faut supposer F=E, c'est à dire que f et g soient deux applications linéaires de E dans E (des endomorphismes de E).

Mais il faut éviter les bêtises et incohérences du genre (à la fin de la ligne)

Ker(gof) = {a∈E / f(a) = y / g(f(a) = Of} = {g(f(a)) / a∈E} = {W∈E}
on a la droite vectoriel de base W de dim 1

car rien ne permet de dire que ker(gof) est de dimension 1! et si c'était le cas il ne pourrait pas être égal à

= {W∈E}

car un e.v contenant un seul vecteur n'est pas une droite, mais plutôt à Vect(W), W≠0_E.

[invitedad19d55]

Alors, supposons que F=E et donc que f et g soit des application endomorphique de E

Imf = {f(x) / x∈E} et Img = {g(x) / x∈E}
Si x ∈ Im(fog) alos {f(x) / x∈E} et {g(x) / x∈E} et donc {f(g(x)) / x∈E}
On obtiens les méme images, on peut donc dire que l'inclusion est vrai.

J'ai toujours bon ? En quois un endomorphisme change la donne ?

[inviteec9de84d]

Imf = {f(x) / x∈E} et Img = {g(x) / x∈E}
Si x ∈ Im(fog) alos {f(x) / x∈E} et {g(x) / x∈E} et donc {f(g(x)) / x∈E}
On obtiens les méme images, on peut donc dire que l'inclusion est vrai.

J'ai toujours bon ?

Où ça ? Tu ne peux écrire au début que :
Si f(g(x)) ∈ Im(fog) alors x∈E.
Mais comme x∈E et que l'on restreigne g:E ->E, que se passe-t-il lorsque tu appliques f à y=g(x)?

En quois un endomorphisme change la donne ?

Car f:E ->F, idem pour g. Tu ne peux appliquer f à g(x) que si g(x)∈E.
Le problème est réglé avec des endomorphismes.

[invitedad19d55]

Soit f et g, 2 application linéaire supposé endomorphique de E ->E

Imf = {f(x) / x∈E} et Img = {g(x) / x∈E}
Prenons y telle que y = g(x)

Si y ∈ E alors Im(fog)={f(g(x)) / x∈E}={f(y) / y∈E}
et donc Im(fog)∈Imf et donc on trouve l'inclusion.

Sur le méme principe, j'ai essayé le Ker(f) est inclus dans Ker(gof)

Kerf = {x∈E / f(x) = OF} et Kerg = {x∈E / g(x) = OF}
prenons y = f(x) = 0F

Si y ∈ E, Ker(gof)={x∈E / g(f(x)) = Of}={y∈E / g(y) = Of}
donc Kerf∈Ker(gof) et donc on trouve l'inclusion

[inviteec9de84d]

Soit f et g, 2 application linéaire supposé endomorphique de E ->E

Imf = {f(x) / x∈E} et Img = {g(x) / x∈E}
Prenons y telle que y = g(x)

Si y ∈ E alors Im(fog)={f(g(x)) / x∈E}={f(y) / y∈E}
et donc fog(x)∈Imf et donc on trouve l'inclusion.

L'appartenance ne concerne que les éléments d'un ensemble, pas les ensembles eux-mêmes.
Ok pour moi, à confirmer quand même !

Sur le méme principe, j'ai essayé le Ker(f) est inclus dans Ker(gof)

Kerf = {x∈E / f(x) = OF} et Kerg = {x∈E / g(x) = OF}
prenons y = f(x) = 0F

Si y ∈ E, Ker(gof)={x∈E / g(f(x)) = Of}={y∈E / g(y) = Of}
donc Kerf∈Ker(gof) et donc on trouve l'inclusion

Tu raisonnes encore à l'envers !
Tu dois prendre x∈Ker(f) et montrer que x∈Ker(gof).

[invitedad19d55]

Kerf = {x∈E / f(x) = OF} et Kerg = {x∈E / g(x) = OF}
prenons y = f(x) = 0F

Si y ∈ E, Ker(gof)={y∈E / g(y) = Of}={g(f(x))=0F / x∈E}
donc comme x ∈ kerf montre que x ∈ Ker(gof), on trouve que Kerf ∈ Ker(gof) et on trouve donc un inclusion.

[inviteec9de84d]

Kerf = {x∈E / f(x) = OF} et Kerg = {x∈E / g(x) = OF}
prenons y = f(x) = 0F

Si y ∈ E, Ker(gof)={y∈E / g(y) = Of}={g(f(x))=0F / x∈E}
donc comme x ∈ kerf montre que x ∈ Ker(gof), on trouve que Kerf ∈ Ker(gof) et on trouve donc un inclusion.

Non !!
Si x∈ Ker(f) alors f(x)=0_F, et g(f(x)) =? et donc ?

[invitedad19d55]

Si x∈ Ker(f) alors f(x)=0F
je déduis donc que g(f(x))=g(0F)
Donc x∈ Ker(gof)

et si x∈ Ker(f) implique que x∈ Ker(gof) alors Kerf est inclu dans x∈ Ker(gof)

Si c'est sa la solution, alors je cherche vraiment compliqué...

[inviteec9de84d]

Ok, à quelques étourderies près :

Si x∈ Ker(f) alors f(x)=0F
je déduis donc que g(f(x))=g(0F)=0_F
Donc x∈ Ker(gof)

et si x∈ Ker(f) implique que x∈ Ker(gof) alors Kerf est inclu dans Ker(gof)

Si c'est sa la solution, alors je cherche vraiment compliqué...

Ben ouais
Malheureusement, je crois que tu n'as surtout pas bien compris le raisonnement en algèbre linéaire...car tu avais quand même écrit de grosses inepties.
J'espère que cet exemple t'auras aidé en tout cas

[invitedad19d55]

okii, et bien merci pour ton aide, et je vais reprendre tranquillement mes cours ^^