signature d´une permutation

[invitee75a2d43]

Bonjour, je commence mon cours de théorie des groupes et dès la première question j´ai déjà un problème: On me donne les éléments suivants:

Toute permutation est produit de cycles 2 à 2 disjoints
Toute permutation est produit de transpositions (cycles à 2 éléments)

Si c est un cycle à k éléments, sa signature est: e(c) = (-1)^k-1
si la permutation s est le produit de cycles c₁ à c_k, alors e(s) = e(c₁)....e(c_k)

On me demande de prouver la chose suivante: Soient deux permutations s et t, on a alors e(st) = e(s).e(t).

On me met sur la voie en supposant que t est une transposition de suport (i,j) et s le produit de cycles disjoints c₁... c_k, pour ensuite généraliser. Mais je bloque dès cette première question.

J´ai simplement réussi le cas trivial où i et j ne sont dans aucun cycle c_l, dans ce cas évidement, st est le produit des cycles c₁ à c_k et de (i,j).
Mais après, en supposant qu´un des éléments i ou j ou les deux sont dans un cycle ou plusieurs, je bloque

Quelqu´un a-t-il une idée?

Merci d´avance

Christophe
-----

[invitebe0cd90e]

Quand tu ecris :

si la permutation s est le produit de cycles c1 à ck, alors e(s) = e(c1)....e(ck)

qui fait donc partie de ta definition de la signature, est ce que tu supposes les cycles disjoints aussi ? Sinon ton resultat en decoule directement...

Enfin j'imagine que ca n'est pas le cas sinon tu ne poserais pas la question..

Si i est dans le support d'un cycle c, sans perte de generalité on peut supposer que c=(a1, .., ak, i). Dans ce cas il suffit de regarder l'image de ak par (i,j)*c : c l'envoie sur i, puis (i,j) l'envoie sur j. Et l'image de j est i, puisque j n'est pas dans le support de c, et i est toujours envoyé sur a1, donc au final (i,j)*c= (a1,..,ak, j, i).

Si i et j sont tous les 2 dans le support: si c=(a1,..,am,i, .., ak,j) (ce qu'on peut supposer sans perte de généralités), par le meme genre de raisonnement tu vois que ca va "couper" le cycle en 2 : (i,j)*c=(j,.., am)*(i,...,ak) puisque am va etre envoyé sur j, et ak sur i.

(notes qu'en particulier, si i et j sont consecutifs, tu obtiens simplement le cycle c privé de i, ce qui est logique puisque i ->j par le cycle, puis j-> i par la transposition, donc i est envoyé sur lui meme dans ce cas.)

bref, c'est un peu fastidieux, mais a chaque fois tu remarque que la signature change, ce qui est bien le resultat attendu.

Notes aussi qu'il existe une definition de la signature qui a la fois rend cette compatibilité avec la multiplication bcp plus naturelle, et qui permet de retrouver ta definition à toi comme une consequence facile.

[invitee75a2d43]

oui, effectivement, petit oubli de ma part, je suppose les cycles disjoints. Merci de ta réponse, je vais voir ça de plus près.

[invitebe0cd90e]

Ok, et juste pour preciser ma derniere remarque :

La decomposition d'une permutation en produit de transposition n'est pas unique, et le nombre de transposition qui intervient dans cette decomposition non plus.

En revanche, la parité du nombre de transposition qui intervient dans la decomposition d'une permtation est toujours la meme.

Tu peux definir la signature comme valant 1 si la permutation se decomose en un nombre pair de transposition, et -1 sinon.

Inconvenient : il faut prouver que la parité ne depend effectivement pas de la decomposition choisie.

Avantage : le fait que la signature respecte le produit est immediat, et la formule pour les cycles aussi puisque (a1...ak)=(a1,ak)(a2,ak)...(ak-1,ak)

[A voir en vidéo sur Futura]