Modulo un polynôme

[invite2734a185]

Bonsoir à tous !

Je suis étudiant en informatique et je me retrouve ce semestre à étudier de l'arithmétique en même temps que des gens issus de maths ; en bref c'est la galère =D .

Je ne vais pas vous demander de faire l'exo qu'on m'a donné à faire, je vais juste vous demander de m'illuminer sur deux trois choses que je n'arrive pas à comprendre.

Tout d'abord, on m'a présenté les polynômes à coefficients dans un corps. Là, aucun problème, je vois bien le truc.
Par contre, on a ensuite mis ça modulo un polynôme. Ca veut dire que chaque polynôme qui se factorise et qui possède le modulo en facteur se réduit en l'autre composante de sa factorisation, c'est bien ça ?

Du coup, tous les polynômes de degré inférieur au polynôme du modulo sont irréductibles logiquement ?

On m'a parlé rapidement du corps F9 (F3[X] modulo (X^2+1)) en cours. C'est là que commencent les problèmes : je bloque pour visualiser ses éléments. On m'a dit qu'il en a 9, et je pense que ce sont en fait les ax+b, a et b appartenant a Z/3Z, car leur degré est inférieur à celui du modulo et sont dont irréductibles. Est-ce juste ?

J'ai le sentiment que c'est faut car je me rends compte que je n'ai pas tenu compte de la structure et des propriétés du corps (notamment l'existence des inverses) et que je pense qu'il doit même exister des polynômes à coefficients dans Z/3Z de degré supérieur à celui du polynôme mais ne le possédant pas comme facteur...


Voilà, au final ça fait un petit pavé pas forcément bien structuré, j'en suis désolé, mais j'ai vraiment du mal à assimiler tout ça.
Pourriez-vous me dire ce que j'ai juste et ce qui cloche là-dedans ?

Quoi qu'il en soit je vous remercie pour m'avoir lu .
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[inviteec9de84d]

Salut,
vaste sujet pour le développer en un post, et surtout je préfère ne pas te souffler des bêtises !
Voilà un document dans lequel tu trouveras ton bonheur : explications claires et exemples simples à comprendre (pour "visualiser"), mais néanmoins très sérieux.

[invite57a1e779]

Bonjour,

Travailler modulo le polynôme , signifie que tu remplaces systématiquement par lorsque tu le rencontres en cours de calcul.

Les nombres complexes sont des polynômes en à coefficients réels : est un nombre complexe. On calcule sur les nombres complexes modulo . Donc on remplace systématiquement par : , que l'on utilise plus généralement sous la forme , ce qui permet de simplifier = .

Pour , c'est pareil, les éléments de sont polynômes à coefficients dans , mais avec la relation , soit et, comme dans le cas des nombres complexes, on peut toujours ramener l'élément d'un élément de à la forme .

[invite2734a185]

Merci beaucoup à tous les deux pour vos réponses.

@God's Breath : je n'avais pas du tout fait le rapprochement avec les nombres complexes, mais c'est vrai qu'aborder le modulo de cette manière aide beaucoup pour comprendre plus facilement.

Du coup, F9 est bien composé des ax+b ; comme je suis dans Z/3Z ça me laisse 3 possibilités pour a et b donc F9 contient 9 éléments.

Par contre j'ai un petit problème pour la suite, c'est que je prouve que le groupe des inversibles de F9 est un groupe cyclique à 8 éléments (les 9 sauf le 0 donc). Mais au moment de la recherche de ses générateurs certains éléments ont un ordre qui m'a l'air de grimper vers l'infini...

Exemple de (x+1) :

(x+1)^2=x²+2x+1=2x
(x+1)^3=2x(x+1)=2x-2
(x+1)^4=(2x)(2x)=-4
... (je continue sans tomber sur le neutre pour autant)
(x+1)^8=(-4)(-4)=16

Pourtant d'après Lagrange les éléments de F9* devraient tous avoir un ordre fini divisant l'ordre du groupe puisqu'il est cyclique, non ?
Est-ce que j'ai mal fait quelques chose ? Pourtant, la seule chose que je fais est, comme l'a fait remarquer God's Breath, utiliser le modulo X²+1, c'est à dire remplacer les X² par des -1...


Merci d'avance pour vos réponses !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

.Exemple de (x+1) :

(x+1)^2=x²+2x+1=2x
(x+1)^3=2x(x+1)=2x-2
(x+1)^4=(2x)(2x)=-4
... (je continue sans tomber sur le neutre pour autant)

Attention !! Les coefficients des polynômes ne sont pas des nombres réels, même pas des entiers, mais des éléments du corps , de caractéristique 3 ; tu as donc 3 = 0 !!!
Par suite :







et engendre le groupe multiplicatif d'ordre 8 , dont les autres générateurs sont donc , et .

[invite2734a185]

Ah oui d'accord j'avais complètement oublié ça, merci du rappel !

Je vais essayer de voir ce que ça donne et si j'ai un souci je repasserai.

Merci beaucoup God's Breath !