Une theorie cohérente et compléte induit le tiers exclu ?

[invite6754323456711]

Bonjour,

Une théorie (en logique classique) cohérente et complète admet elle forcement le tiers exclu comme axiome ?

Une théorie est cohérente (consistante) si on ne peut démontrer (A et non A). On ne peut pas démontrer de contradiction.

Une théorie est complète quand tous les énoncés du langage de la théorie sont décidables dans la théorie, c'est-à-dire que chaque énoncé est un théorème ou sa négation est un théorème.

Donc si elle est complète et cohérente nous avons forcement (Non A ou A). Qui est un axiome de la théorie ?

Maintenant on parle de principe pour le tiers exclu et d'axiome pour l’axiome du choix. Le tiers exclu ne peut donc pas être un "axiome logique" ?

Patrick
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[Médiat]

Maintenant on parle de principe pour le tiers exclu et d'axiome pour l’axiome du choix. Le tiers exclu ne peut donc pas être un "axiome logique" ?

Le tiers exclu est un schéma d'axiomes qui permet d'écrire un axiome pour chaque formule du langage considéré. Et c'est un schéma valide au niveau de la définition de la logique classique (donc (a ou non a) est toujours vrai dans cette logique).

[invitebe0cd90e]

Autrement dit (corrige moi Mediat si je me trompe), le principe du tiers exclu n'est pas un axiome des theories qu'on utilise, mais une des "regles" de la logique dont on se sert pour ecrire les axiomes.

[invite6754323456711]

Autrement dit (corrige moi Mediat si je me trompe), le principe du tiers exclu n'est pas un axiome des theories qu'on utilise, mais une des "regles" de la logique dont on se sert pour ecrire les axiomes.

Il m'est arrivé de lire : "le tiers exclu n’est pas démontrable". On parle alors d'axiome logique ? comme le fait que E se déduit de (E et F) ainsi que F se déduite de (E et (E ==> F))

Il semble pourtant être démontré que l'axiome de choix entraine le tiers exclu (page 285 http://archive.numdam.org/ARCHIVE/CT...33_3_279_0.pdf)

Patrick

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Autrement dit (corrige moi Mediat si je me trompe), le principe du tiers exclu n'est pas un axiome des theories qu'on utilise, mais une des "regles" de la logique dont on se sert pour ecrire les axiomes.

C'est bien cela (sauf que je préfère dire schéma d'axiome que règle ).
Typiquement en logique intuitionniste, donc sans schéma du tiers exclu, rien n'interdit d'introduire un axiome spécifique "de tiers exclu" pour une (des) formules déterminée(s).

[Médiat]

Il semble pourtant être démontré que l'axiome de choix entraine le tiers exclu (page 285)

Gros abus de langage : l'axiome du choix dans ZF entraîne le schéma du tiers exclu, pour le langage égalitaire ne contenant que le le symbole d'appartenance.

Que veut dire l'axiome du choix pour la théorie des groupes ?

[invite6754323456711]

C'est bien cela (sauf que je préfère dire schéma d'axiome que règle ).

Le sens de schéma d'axiome il faut le comprendre comme ce qui est formulé dans Wikipédia ? :

Certaines théories ont un nombre infini d'axiomes, mais ceux-ci sont décrits de façon finie, on parle alors de schéma d'axiomes. Par exemple l'arithmétique de Peano, théorie du premier ordre, énonce la récurrence comme un schéma d'axiomes : il faut un axiome par formule pour laquelle on énonce la récurrence.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A..._axiomatisable

Patrick

[Médiat]

Le sens de schéma d'axiome il faut le comprendre comme ce qui est formulé dans Wikipédia ?

Presque, car il y a une peite nuance : dans le schéma d'axiome de récurrence, on peut appliquer le schéma pour toutes les formules du langage de la théorie dont on parle, ici Peano, le langage est donc, sans doute (=, 0, s, + .). Je pourrais faire la même remarque avec les schémas d'axiome de ZF, mais le langage serait différent (=, ). On est donc "capable" d'écrire les axiomes générés par ce schéma (sauf qu'il y en a une infinité d'où le recours au schéma)

Dans le cas du tiers exclu, lorsqu'on l'énonce pour la logique classique, on pourrait même dire qu'il s'agit d'un schéma de schémas, puisqu'en fait on ne connaît pas le langage dans lequel s'exprime la formule a quand j'écris (a ou non a), on est donc totalement incapable d'écrire les axiomes à partir du seul schéma de schéma, mais on sait qu'on saura le faire le moment venu.

[invite6754323456711]

P
Dans le cas du tiers exclu, lorsqu'on l'énonce pour la logique classique, on pourrait même dire qu'il s'agit d'un schéma de schémas, puisqu'en fait on ne connaît pas le langage dans lequel s'exprime la formule a quand j'écris (a ou non a), on est donc totalement incapable d'écrire les axiomes à partir du seul schéma de schéma, mais on sait qu'on saura le faire le moment venu.

La notion de règle précisé par jobherzt me semble plus pragmatique car la il faut un sacré recul pour en comprendre toute les subtilités.

Merci
Patrick

[Médiat]

La notion de règle précisé par jobherzt me semble plus pragmatique car la il faut un sacré recul pour en comprendre toute les subtilités.

Tu viens de résumer tout le mal que je pense du pragmatisme : cela sert à cacher les subtilités .

D'autre part, je ne dis rien de plus que jobherzt puisqu'il parle de règle qui permet d'écrire les axiomes, seul le vocabulaire est différent ce qui n'est pas très significatifs ici.

[invite6754323456711]

Tu viens de résumer tout le mal que je pense du pragmatisme : cela sert à cacher les subtilités .

D'autre part, je ne dis rien de plus que jobherzt puisqu'il parle de règle qui permet d'écrire les axiomes, seul le vocabulaire est différent ce qui n'est pas très significatifs ici.

Oui tu as surement raison. Mais dans un premier temps c'est il me semble une approximation qui permet de se faire une idée concrète en attendant d'avoir une vision plus muri. On ne peut pas des la première étude d'une discipline en apprécier toute les subtilités. Il faut bien progresser par étape en apprenant à monter les gammes.

Patrick