Bonjour a vous,
Voila je découvre en lisant un cours quelque chose que je n'ai jamais vu (j'ai fait PC en prepa) :les groupes quotients. (ex : le groupe quotient R/Z) et en fait j'ai cherché un peu sur le net mais je n'arrive pas du tout a visualiser ce que sont les groupes quotient. Si quelqu'un avait la gentillesse de m'expliquer avec un ou deux exemples a l'appui qui me permettrait pour sur de mieux comprendre ça m'aiderait.
Merci d'avance.
Avant toute chose : sais tu ce qu'est une relation d'equivalence, et le quotient d'un ensemble par une relation d'equivalence ?
Bah je connais quelques relations d'équivalence mais pas dans le cadre de groupe et je ne connais pas non plus "le quotient d'un ensemble par une relation d'équivalence".
Bon, donc tu connais la definition generale d'une relation d'equivalence ? De maniere informelle, une relation d'equivalence permet de regrouper les elements d'un ensemble par "paquet", en mettant dans le meme paquet les elements qui ont une propriété commune. Un paquet s'appelle une classe d'equivalence
Exemple type : tu prends l'ensemble des entiers, et la relation d'equivalence "avoir le meme reste dans la division par 2".
Donc tu mets ensemble tous les entiers pairs, et ensemble tous les entiers impairs. Tu as donc deux classes d'equivalences.
L'ensemble quotient, c'est simplement l'ensemble des classes d'equivalence. Dans l'exemple si dessus, l'ensemble quotient contient 2 elements, qu'on note en generalet
Dans le cas d'un groupe G, on voudrait avoir des relations d'equivalences compatibles avec la loi du groupe. Cad que si on prend 4 elements a,b,c,d dans G tels que a equivalent à b, et c equivalent à d, on exige que ac soit equivalent à bd.
Dans ce cas, grace a cette compatibilité, l'nteret est que l'ensemble quotient est naturellement muni d'une structure de groupe, on l'appelle donc le groupe quotient.
On peut prouver que toutes les relations d'equivalence sur un groupe G qui sont compatibles avec la loi de G sont de la forme :
x equivalent a y si et seulement si
Si on reprend le premier exemple, l'ensemble des entiers relatifs Z est un groupe pour l'addition, et l'ensemble des entiers pairs 2Z est un sous groupe normal. Et puisque dire que "x et y ont le meme reste dans la division par2" est la meme chose que "x-y est pair", cad "x-y appartient a 2Z", l'ensemble quotient dont je parlais plus haut peut se noter Z/2Z, et c'est un groupe.
Plus precisement, si H est un sous groupe normal, et x un element de G, on note xH l'ensemble des elements de la forme xh ou h est un element de H. Dans ce cas, le groupe quotient est
Donc l'idée est la meme, tu regroupes les elements par paquet, en un sens tu forces certains elements a etre egaux, et si le sous groupe H est normal alors tu as une structure de groupe canonique sur l'ensemble des classes d'equivalences (les paquets).
J'ai conscience que c'est un peu rapide, mais ca n'est pas une notion si compliquée avec un peu de pratique.
D'accord donc ecrire G/H signifie qu'on rassemble les élements équivalents entre eux suivant le sous groupes H (c'est a dire que nos éléments sont équivalents si x-y appartiennent a H). En gros on defini notre relation d'équivalence PAR RAPPORT a un sous groupe. C'est ça ?
Et donc pour Z/2Z, l'ensemble c'est l'ensemble paire et l'ensemble des nombre impairs donc 2 élèments mais le groupe c'est quoi ?
C'est ca, et on le fait parce que les relations d'equivalences compatibles avec la loi du groupe sont exactement celles de ce type.Envoyé par Azuriel
Bah le groupe c'est Z/2ZEt donc pour Z/2Z, l'ensemble c'est l'ensemble paire et l'ensemble des nombre impairs donc 2 élèments mais le groupe c'est quoi ?Tu peux le voir comme l'ensemble {0,1} muni de l'addition modulo 2, cad
0+0=0
0+1=1+0=1
1+1=0
D'accord, merci beaucoup pour cette réponse.
Pour ma question sur le groupe c'est que j'ai lu cette phrase a un endroit qui me fait me poser des questions :
"On peut considérer le quotient R/Z qui est un groupe commutatif."
Or un groupe commutatif suppose que nos élèments commutent, donc qu'il y a des élèments...Or de quels élèments parlent ont là ?
Heureusement qu'il y a des elements
En fait il y a toujours une reponse formelle : les elements du groupe quotient, ce sont les classes d'equivalences.
Si tu veux voir les choses de maniere plus concretes, il faut essayer de trouver ce qu'on appelle un "systeme de representants", cad un element particulier dans chaque classe d'equivalence. Ensuite, dans les calculs, tu remplaces chaque element par le representant de la classe d'equivalence a laquelle il appartient. Exemple, avec Z/2Z j'ai choisi comme representants : 0 et 1.
Ensuite, quand je fais le calcul, j'ecris 1+1=2 (ce qui reste vrai), mais 2 n'est pas un des representants que j'ai choisi. 2 est dans la classe de 0, donc j'ecris : 1+1=0.
Ce systeme de representant est pratique puisque l representant associé a un element quelconque est simplement son reste dans la division par 2.
Essaie d'appliquer ca a R/Z : par definition, la relation d'equivalence est : x equivalent a y ssi x-y est un entier.
En fait, par definition, ajouter ou retrancher un element de Z ne change pas la classe d'equivalence dans laquelle tu te trouves (c'est le principe du quotient..). Donc dans ce cas tout element est equivalent a un element de [0,1[.
Merci beaucoup pour ces réponses très détaillées. Je vais essayer de digérer tout ça et si j'ai encore des questions je reviendrais vers vous
