sous espaces affines

[invite69d45bb4]

bonjour .soit E un espace vectoriel sur le corps K . l'intersection de deux sous espaces affines W et W' est soit vide soit un sous espace affine dont la direction est l'intersection des directions de W et W'.mon probleme porte sur le fait de demontrer que l'intersection de deux sous espace affines est un sous espace affine dont la direction est l'intersection des des directions de W et W'.le debut de la demonstration dit: supposons que W inter W' est different de l'ensemble vide, et consideront un element A de cette intersection .vect W inter vect W' est un sous espace vectoriel de E.pour tout point M de E ,M appartient à W inter W'..." ce que je n,e comprends pas c'est pourquoi pour tout point M de E on a M appartient à W inter W'.merci par avance.
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[invite7ffe9b6a]

Bonjour
C'est assez confus

E un espace vectoriel

Pour tout point M de E

E contient des vecteurs, pas des points...

Si j'ai bien compris le probleme:

On a E un espace affine de direction .
Soient W et W' deux sous-espaces affines (de direction [TEX]\vec{W} \mbox{ et } \vec{W'}) alors

soit

soit est un sous-espace affine de direction


On se place dans le deuxieme cas, soit alors il faut montrer que

[invite69d45bb4]

je reformule mon probleme pour que ce soit plus clair .l'intersection de deux sous espaces affine est un espace affine dont la direction est l'intersection des directions des deux sous espaces affines.or dans le debut de la demonstration il est dit : " supposont que l'intersection de ces deux sous espaces affine est different de l'ensemble vide et considerons un element A de cette intersection .alors l'intersection des directions des deux sous espace affines est un sous espace vectoriel de E.et pour tout M de E alor M appartient à l'intersection des deux sous espaces affines.ET je ne comprends pas pourquoi pour tout M de E on a M appartient à l'intersection de ces deux sous espaces affines .j'espere etre clair sinon dite moi .merci par avance pour vos reponses.

[invite7ffe9b6a]

si E désigne un espace affine, W et W' deux sous espaces affines d'intersection non vide, il n'y a aucune raison pour que tout point de E appartienne à cette intersection.

Par exemple, on prend E= le plan R² (qu on munit d'un repere orthonormal )
D=la droite d'equation y=x
D'=la droite d'equation y=0.

alors D inter D'= {(0,0)} ne contient clairement pas tout point de E.


Quelle est la suite de la démonstration???

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69d45bb4]

pourquoi E serait un sous espace affine , dans mon enoncé c'est un espace vectoriel.

[invite7ffe9b6a]

tout M de E alor M appartient à l'intersection des deux sous espaces affines

Un espace affine contient des points
Un espace vectoriel des vecteurs

Cette phrase n'a pas de sens pour moi ....

[invite7ffe9b6a]

Pourrais -tu écrire la suite de la preuve, dans le contexte cela sera plus facile de comprendre ce que l'auteur à voulu dire.

[invite69d45bb4]

voici le reste de la demonstration : " vect W inter vect W' est un sous espace vectoriel de E .pour tout point M de E. on a M appartient à W inter W' <--->M appartient à W et M appartient à W'<---> vect AM appartient à W et vect AM appartient à W'<--->vect AM appartient à vect W inter vect W'.donc W inter W'=A +(vect W inter vect W').donc W inter W' est le sous espace affine contenant A de direction vect W inter vect W'.

[invite7ffe9b6a]

D'accord......
Il procède par équivalence.
Soit M dans E (espace affine)




donc



donc

est le sous espace affine contenant A et de direction

[invite69d45bb4]

mais pourquoi E est un sous espace affine? dans mon cours ils disent bien que E est un espace vectoriel.donc là je comprends pas pourquoi E serait un sous espace affine .si quelqu'un pouvait m'expliquer .merci par avance

[invite7ffe9b6a]

Parce que un espace vectoriel peut être vu comme un espace affine de direction lui même.

[invite69d45bb4]

je vien de relire mon cours en fait c'est bien du à une proprieté des translations.qui dit que l'identité de E est une translation de vecteur 0E, c'est bien ca non?

[invite7ffe9b6a]

L'identité est en effet une translation de vecteur nulle.

L'espace vectoriel peut etre vu comme espace affine en associant au couple de "points" (en faites vecteurs de E) (u,v) le "vecteur" (encore vecteur ) u-v.

u=v+(u-v)

[invite69d45bb4]

ah ok vu sous cet angle là c'est beaucoup plus clair mais est ce que ce que j'ai dit precedemment est correct je me recite :"E est un sous espace affine est lié au fait que l'identité de E est une translation de vecteur nul 0E." merci de me dire si le fait que E soit un sous espace affine est liée a cette proprieté de la translation.merci par avance

[invite7ffe9b6a]

E est un espace affine car.

-L'identité est la translation de vecteur



- La translation de vecteurs u+v est la translation de vecteurs v suivit de la translation de vecteurs u .



-Pour tout x et y de E, il existe un unique vecteurs v de E tels que x=y+v

[invite69d45bb4]

merci beaucoup pour toutes ces explication .j'ai tout compris cette fois ci.