spectre connexe ferme

[invite3eaa6866]

Bonjour,

jai un probleme que jaimerai vous montrer :

On se place dans une Algbre de Banach unifere A.
Montrer que l'ensemble est ferme dans A

J'ai pose .
Je considere l'ensemble des tels que (suggere en dessous de l'enoncé)
J'ai alors rapidement que
Je veux donc montrer que est ouverte.
Je considère la fonction caractéristique de , définie et holomorphe sur .
Pour conclure, j'ai besoin de montrer qu'elle est continue sur . Et là... blocage !
Auriez-vous une idée pour démontrer ce résultat?
J'aimerai partir de avec un chemin bien choisi, mais je ne vois pas trop quoi prendre !

merci beaucoup
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[invite3eaa6866]

une idée vite fait :

Sans trop rentrer dans les détails:soit xn->x avec sp(xn) connexe.

Supposons que K=sp(x) puisse s écrire come union de 2 compacts disjoints et .J agrandis ces 2 compacts: avec assez petit pour que et restent disjoints.Pour tout n assez grand,sp(xn) sera inclu dans l un des 2 .Quitte a extraire une sous suite de xn,et a éventuellement intervertir et ,je suppose que pour tout n,le spectre de xn est inclus dans .

On peut aussi supposer que 0 est dans K1.Soit un cycle(=union de lacets) dans ,tel que soit égale a 1 sur K1.En particulier, ne rencontre aucun spectre.A n fixé appliquons la formule de Cauchy a .On a

donc

Comme ne rencontre pas le spectre de x,on en déduit que le terme de droite converge.On a donc que 1/xn converge,donc que x est inversible,absurde..

ca parait convaincant,a premiere vue seulement ?

[invite5f67e63a]

Bonjour,
Je suis pas spécialiste d'nalyse fonctionnelle, mais ca m'a l'air correct...Par contre y a un truc que je comprends pas, c'est que tu parles du spectre d'un élément d'une algèbre de Banach quelconque...J'ai fais comme si ton algèbre de Banach c'etait un espace d'opérateurs bornés sur un Hilbert, mais comment tu définis le spectre dans une algèbre de Banach quelconque?

[invite5f67e63a]

Heu c'est bon je suis bete en fait c'est evident, c'est les z tel que A-z soient inversible.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3eaa6866]

Oui

alors cest bon ? merci bien

enjoy

[invite5f67e63a]

Ca m'a l'air correct par contre y a un petit truc encore qui me chiffone...Tu utilise que ton algèbre de banach est localement compacte pour montrer que le spectre est conexe ssi son intersection avec une famille exhaustive de compact est connexe (sinon je vois mal comment tu te ramène au cas d'un spectre compact, la seule chose qu'on sache c'est qu'il est fermé, non?). Du coup elle est pas tout a fait quelconque ton algèbre de Banach...elle est localement compacte...enfin si on est sur R ou C c'est aps un probleme mais si on est sur C_p par exemple...il me semble qu'il faille prendre plus de precautions...(cela dit l'analyse fonctionnelle sur C_p n'est pas tres compliquée et beaucoup moins riche que sur les corps archimédiens)