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intersection réduite à {0}? pas si sûr...

  1. #1
    vince3001

    intersection réduite à {0}? pas si sûr...

    Bonjour
    voila l'énoncé de mon problème :
    "Soit E un espace euclidien de dim finie supérieure ou égale à 2. On notera (|) son produit scalaire et || || la norme associée. Ds toute la suite, u et v sont 2 vecteurs de E, tous deux non nuls et on définit un endomorphisme f de E en posant :f(x)=x-(v|x)u pour tout x ds E"

    J'ai montré que :
    u est vecteur propre de f et que =1-(v|u) est valeur propre associée
    =1 est valeur propre de f et l'espace propre associé correspond aux vecteurs orthogonaux à v

    Je dois maintenant montrer que :
    "On suppose que (u|v) différent de 0. Montrer que E=E() E()"

    Voilà mon pb :
    "on prend x ds l'intersection des 2 ensembles et on cherche ds un premier tps à montrer que x=0
    on a x orthogonal à v car x ds E()
    de plus x est ds E() dc ... dc quoi? x n'est pas forcément colinéaire à u vu que l'on ne connaît pas la dimension de E()! Si cela avait était la cas la conclusion ne m'aurait pas posée de pb (si elle était égale à 1 tout du moins)...

    Merci de votre collaboration

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    God's Breath

    Re : intersection réduite à {0}? pas si sûr...

    Citation Envoyé par vince3001 Voir le message
    de plus x est ds E() dc ... dc quoi?
    ... donc ...
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  4. #3
    vince3001

    Re : intersection réduite à {0}? pas si sûr...

    en effet...tout simplement
    Dernière modification par vince3001 ; 14/03/2009 à 14h09.

  5. #4
    vince3001

    Re : intersection réduite à {0}? pas si sûr...

    Merci beaucoup!

  6. #5
    vince3001

    Re : intersection réduite à {0}? pas si sûr...

    J'ai une nouvelle question...
    Si un f admet une seule valeur propre, est-ce que sa multiplicité est alors égale à la dimension de E?

  7. #6
    God's Breath

    Re : intersection réduite à {0}? pas si sûr...

    Qu'appelles-tu « multiplicité » d'une valeur propre ?
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  8. #7
    vince3001

    Re : intersection réduite à {0}? pas si sûr...

    c'est le nombre de fois que celle-ci annule le polynome caractéristique...

  9. #8
    vince3001

    Re : intersection réduite à {0}? pas si sûr...

    j'ai la forte impression que la réponse est oui car le polynome caractéristique est de degré n
    confirmation?

  10. #9
    God's Breath

    Re : intersection réduite à {0}? pas si sûr...

    Tout dépend si le corps de base est algébriquement clos ou non.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  11. #10
    Antho07

    Re : intersection réduite à {0}? pas si sûr...

    Bonjour,
    par exemple l'endomorphsime de R^3 dont la représentation dans la base canonique est:




    admet une seule valeur propre 1 (de multiplicité algebrique 1)

  12. #11
    vince3001

    Re : intersection réduite à {0}? pas si sûr...

    Comment savoir si le corps de base est algébriquement clos ou non?
    je ne connais pas ce terme...

  13. #12
    God's Breath

    Re : intersection réduite à {0}? pas si sûr...

    L'espace est supposé euclidien, donc le coprsde base est qui n'est pas algébriquement clos.

    Reprends l'exemple de Antho07, ou plus simplement l'endomorphisme de matrice , et tu auras la réponse sur la multiplicité d'une valeur propre unique.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  14. #13
    Antho07

    Re : intersection réduite à {0}? pas si sûr...

    Algebriquement clos signifie que tout polynôme sur le corps est scindé.

    C'est à dire que tout polynome P peut s'écrire sous la forme



    (Autrement dit tout polynome non constant admet au moins une racine)


    Par exemple ,

    n'est pas algebriquement clos: par exemple le polynome n'admet pas de racines réelles

    est algebriquement clos
    (theorème de d'Alembert -Gauss)

  15. #14
    vince3001

    Re : intersection réduite à {0}? pas si sûr...

    ok merci...ça fait pas mes affaires, ms au moins j'aurais appris des trucs.

  16. #15
    God's Breath

    Re : intersection réduite à {0}? pas si sûr...

    Citation Envoyé par vince3001 Voir le message
    ça fait pas mes affaires
    et si tu nous disais tout simplement sur quelle difficulté tu achoppes ?
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  17. #16
    vince3001

    Re : intersection réduite à {0}? pas si sûr...

    on suppose que (u|v)=0. MOntrer que 1 est la seule valeur propre de f et que f n'est pas diagonalisable

    j'ai réussi à montrer que 1 était la seule valeur propre de f , ms pour montrer que f n'est pas diagonalisable je voulais dire :
    "=1 est unique valeur propre de f.cela implique que la multiplicité de est égale à n. Or dim de n'est pas égale à n car v n'est pas ds . Dc f n'est pas diagonalisable"

  18. #17
    vince3001

    Re : intersection réduite à {0}? pas si sûr...

    D'autre part après on me demande de trouver une condition nécessaire et suffisante sur u et v pour que f soit diagonalisable

    je voulais montrer que (u|v) différent de 0 etait cette condition.
    Pour cela je disais qu'on avait déjà montré le sens direct par la contraposée (question précédente...) et pis après je disais : "d'après la question c/ (qui portait sur les espaces supplémentaires), dim et dim de . Montrons alors que ...cela devenait évident si la somme des multiplicité était égale à n"

  19. #18
    God's Breath

    Re : intersection réduite à {0}? pas si sûr...

    Citation Envoyé par vince3001 Voir le message
    on suppose que (u|v)=0. MOntrer que 1 est la seule valeur propre de f et que f n'est pas diagonalisable

    j'ai réussi à montrer que 1 était la seule valeur propre de f , ms pour montrer que f n'est pas diagonalisable
    le plus simple est de prouver que l'espace n'est pas somme (directe) des espaces propres, ce qui est immédiat puisqu'il n'y a qu'un espace propre dans cette somme...
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  20. #19
    vince3001

    Re : intersection réduite à {0}? pas si sûr...

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    le plus simple est de prouver que l'espace n'est pas somme (directe) des espaces propres, ce qui est immédiat puisqu'il n'y a qu'un espace propre dans cette somme...
    Je suppose qu'un théorème dit:"f diagonalisable ssi E=somme directe de tous les ss espaces propres"?
    Sinon je suis d'accord pour dire que E n'est pas égal à

  21. #20
    God's Breath

    Re : intersection réduite à {0}? pas si sûr...

    Citation Envoyé par vince3001 Voir le message
    Je suppose qu'un théorème dit:"f diagonalisable ssi E=somme directe de tous les ss espaces propres"?
    Pour moi, c'est la définition de « f est diagonalisable ».
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  22. #21
    vince3001

    Re : intersection réduite à {0}? pas si sûr...

    en effet...après une meilleure lecture de mon cours...

  23. #22
    vince3001

    Re : intersection réduite à {0}? pas si sûr...

    Citation Envoyé par vince3001 Voir le message
    Bonjour
    voila l'énoncé de mon problème :
    "Soit E un espace euclidien de dim finie supérieure ou égale à 2. On notera (|) son produit scalaire et || || la norme associée. Ds toute la suite, u et v sont 2 vecteurs de E, tous deux non nuls et on définit un endomorphisme f de E en posant :f(x)=x-(v|x)u pour tout x ds E"
    Bonjour,
    J'ai une nouvelle question sur ce problème :
    J'ai montré que f est orthogonal ssi u= 2v/(v|v)
    on me demande de faire une interprétation géométrique de f ds ce cas. En faisant qq recherche j'ai trouver la réponse, ms je n'en suis pas pleinement convaincu : c'est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan (réflexion). Pq ? et à quoi cela correspond-t-il ds le pb?
    Ds mon esprit je pouvais seulement dire que f(x) appartenait à la parrallèle à u qui passe par x. Pourriez vous m'éclairer ? Merci

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