compréhension série

[invite3569df15]

salut

j'ai


y'' + 2xy' - y = 0 y(0)=0 et y'(0)=1

on pose


y = sommation( an * x^n)

y'= sommation( n*an * x^(n-1)

y'' = sommation (n(n-1)an*x^(n-2)

je ne comprend pas comment passé d'un élément à l'autre (y à y' à y'')

de plus comment on fait pour trouver ce qu'il y a dans la sommation?


merci
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[invite88ef51f0]

Salut,
Pour passer de y à y', il suffit de dériver terme à terme...

[invitea77054e9]

Pour rappelle, la dérivée d'un monôme du type est n, donc vu que l'application "dérivée" est linéaire, la dérivée d'une somme de monome (meme infinie!) est la somme de la dérivée des monomes...

On a donc:

( ) = n .

On obtient de la même maniere:

( n) = n(n-1) .


Pour résoudre ton exo, tu remplaces simplement tes y'', y' et y dans l'équa diff par leur série respective, et tu calcules! Tu dois te retrouver avec une équation du type f(,,)=constante . De là tu en déduit une formule pour .

Il est 1 heure du mat', j'ai pas le courage de résoudre l'exo , désolé , peut-etre demain matin!

[invite4793db90]

Salut,

une petite précision tout de même: il y a une hypothèse forte qui et faite au départ sur y, à savoir qu'elle est développable en série entière.

En guise de contre-exemple, je vous invite à considérer par exemple l'équation y=x³y'.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4793db90]

os2,

tu devrais arriver à la relation de récurrence (n+1)(n+2)a_n+2=(1-2n)a_n.

Sachant que a₀=0 et a₁=1, la solution est impaire.

J'ai fait le calcul effectif des a_n, mais c'est pas très beau:



Ca se réécrit peut-être uniquement avec des factorielles, mais je n'ai pas cherché.

A+

[invite3569df15]

y= sommation(an * (x-1)^n )

on pose

x-1=v x=v+1


y=sommation( an v^n )

y'= sommation ( n an v^(n-1) )

est-ce qu'on peut dire que y' peut aussi s'écrire:

sommation (n+1 * an+1 * v^n )?

[invite4793db90]

Oui, c'est ce qu'il faut faire, à condition de manipuler les indices avec soins: d'une manière générale: