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compréhension série



  1. #1
    os2

    compréhension série


    ------

    salut

    j'ai


    y'' + 2xy' - y = 0 y(0)=0 et y'(0)=1

    on pose


    y = sommation( an * x^n)

    y'= sommation( n*an * x^(n-1)

    y'' = sommation (n(n-1)an*x^(n-2)

    je ne comprend pas comment passé d'un élément à l'autre (y à y' à y'')

    de plus comment on fait pour trouver ce qu'il y a dans la sommation?


    merci

    -----

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  4. #2
    Coincoin

    Re : compréhension série

    Salut,
    Pour passer de y à y', il suffit de dériver terme à terme...
    Encore une victoire de Canard !

  5. #3
    evariste_galois

    Re : compréhension série

    Pour rappelle, la dérivée d'un monôme du type est n, donc vu que l'application "dérivée" est linéaire, la dérivée d'une somme de monome (meme infinie!) est la somme de la dérivée des monomes...

    On a donc:

    ( ) = n .

    On obtient de la même maniere:

    ( n) = n(n-1) .


    Pour résoudre ton exo, tu remplaces simplement tes y'', y' et y dans l'équa diff par leur série respective, et tu calcules! Tu dois te retrouver avec une équation du type f(,,)=constante . De là tu en déduit une formule pour .

    Il est 1 heure du mat', j'ai pas le courage de résoudre l'exo , désolé , peut-etre demain matin!
    Dernière modification par evariste_galois ; 27/03/2005 à 00h48.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  6. #4
    martini_bird

    Re : compréhension série

    Salut,

    une petite précision tout de même: il y a une hypothèse forte qui et faite au départ sur y, à savoir qu'elle est développable en série entière.

    En guise de contre-exemple, je vous invite à considérer par exemple l'équation y=x3y'.

    Cordialement.

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  8. #5
    martini_bird

    Re : compréhension série

    os2,

    tu devrais arriver à la relation de récurrence (n+1)(n+2)an+2=(1-2n)an.

    Sachant que a0=0 et a1=1, la solution est impaire.

    J'ai fait le calcul effectif des an, mais c'est pas très beau:



    Ca se réécrit peut-être uniquement avec des factorielles, mais je n'ai pas cherché.

    A+

  9. #6
    os2

    Re : compréhension série

    y= sommation(an * (x-1)^n )

    on pose

    x-1=v x=v+1


    y=sommation( an v^n )

    y'= sommation ( n an v^(n-1) )

    est-ce qu'on peut dire que y' peut aussi s'écrire:

    sommation (n+1 * an+1 * v^n )?

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  11. #7
    martini_bird

    Re : compréhension série

    Oui, c'est ce qu'il faut faire, à condition de manipuler les indices avec soins: d'une manière générale:


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