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Compréhension du problème...



  1. #1
    os2

    Compréhension du problème...

    salut

    j'ai un problème d'oscillation forcées non amorties éa résoudre

    l'équation différentielle est:

    y''+y=f(t) y(0)=0, y'(0)=0

    en utilisant laplace je dois montrer que la solution y(t) est

    voir l'image...

    le problème étant que je ne sais pas comment résoudre cela étant donné qu'on connnait pas f(t)...

    merci

    -----

    Images attachées Images attachées

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  3. #2
    Duke Alchemist

    Re : Compréhension du problème...

    Salut !

    y"(t) + y(t) = f(t) avec y'(0) = 0 et y(0) = 0

    L(y"(t)) + L(y(t)) = L(f(t))

    s²Y(s) + Y(s) = F(s)
    en notant F(s) la transformée de Laplace de f(t)
    (heureusement que les conditions initiales sont nulles !)

    d'où :
    Y(s) = F(s).1/(s²+1)
    Y(s) = F(s).G(s)

    L'astuce arrive maintenant : il faut connaître la convolée (ou produit de convolution) de 2 fonctions.

    Et le théorème de convolution :
    F(s).G(s) = L(f(t)).L(g(t)) = L((f*g)(t))

    donc par application (bête et méchante)


    J'espère que c'est clair ?!
    See ya.
    D.A.

  4. #3
    Florette

    Re : Compréhension du problème...

    Bonjour,
    Juste comme ca, c'est quel niveau de math toutes ces histoires de convolutions?
    Merci!

  5. #4
    os2

    Re : Compréhension du problème...

    je suis en école d'ingénieur au québec... donc peut-être bac +3 chez vous?

  6. #5
    [K]

    Re : Compréhension du problème...

    Salut,

    Pourquoi utiliser Laplace...si on donne la solution on peut vérifer simplement par le calcul :



    On calule :



    on a bien : et
    et :

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    mort_khan/Triskaël

    Re : Compréhension du problème...

    Citation Envoyé par Florette
    Bonjour,
    Juste comme ca, c'est quel niveau de math toutes ces histoires de convolutions?
    Merci!
    Ben... Si je ne me trompe pas, c'est ce que l'on voie en prépa maths sup PSCI en SI en début d'année. Bon, moi, niveau maths je suis un peu rouillé, mais si je ne me trompe pas, tout élève sortant de sup est capable de résoudre cette équation en utilisant ET sans utiliser Laplace.

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  10. #7
    indian58

    Re : Compréhension du problème...

    Ca se voit qu'en SI en sup donc pour ceux qui font info, ils sont plutôt mals.

  11. #8
    mort_khan/Triskaël

    Re : Compréhension du problème...

    Ben j'en suis pas sûr. Je sais que l'équa diff du premier post est résolvable en sup. Mais pour les autres notions faites part dans ce post...

  12. #9
    Duke Alchemist

    Re : Compréhension du problème...

    Bonsoir.

    De mon côté, je ne suis pas passé par maths sup/spé et j'ai découvert les transformées de Laplace en licence (niveau L3 actuel) dans les cours de maths de techno-méca et j'ai trouvé ça bien pratique (avec les tables c'est plus pratique mais avec l'habitude, on finit par connaître les transformées les plus fréquemment utilisées) : je trouve que c'est une méthode efficace pour la résolution d'équa diff assez compliquées mais je ne dis pas qu'elle est la plus efficace dans tous les cas

    Citation Envoyé par [K
    ]
    Pourquoi utiliser Laplace...
    C'est os2 qui le demande
    Citation Envoyé par os2
    ...en utilisant laplace je dois montrer...
    et puis, si je peux aider quelqu'un...

    Duke.

    P.S. : os2, ma réponse te satisfait-elle au fait ?

  13. #10
    [K]

    Re : Compréhension du problème...

    Salut,

    oui j'avais vu l'ennoncé, je me demandais juste pourquoi ils imposaient Laplace pour cette équa diff alors qu'ils donnent la solution...

  14. #11
    os2

    Re : Compréhension du problème...

    oui c'est parfait

  15. #12
    Ithilian_bzh

    Re : Compréhension du problème...

    Bonjour,

    En fait, dans les programmes actuels, il est vrai que tous les SIstes savent résoudre ce genre d'équations en sup, si f est une fonction donnée, mais les solutions sont obtenues à partir d'un formulaire, non justifiées...
    Si f(t) est donnée, on sait aussi résoudre en sup en général en maths : (E) est une équation différentielle résolue linéaire homogène du second ordre à coefficients constants (je crois n'avoir rien oublié ) en on sait très bien résoudre ce genre de choses. Ensuite, il suffit de faire une variation des constantes, et on retombe sur le résultat... Tout ça pour dire que l'on sait résoudre en sup.
    Par contre, la transformée de Laplace et le produit de convolution nécessitent, pour être justifiés proprement, l'étude de l'intégrale sur des intervales quelconques, qui n'intervient qu'en spé, et pas stricto sensu dans le cours, même en MP.Donc niveau bac +2 - +3...
    Astronome ingénieur alternatif

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