Générateur du groupe multiplicatif de Z/251Z,

[FAN FAN]

Bonjour, voici ma question:

Comment démontrer que 6 € (Z/251Z)* est un générateur du groupe multiplicatif (et cyclique) (Z/251Z)* ?

251 est premier, l'ordre de (Z/251Z)* est donc 250 . Il faut démontrer 6²⁵¹ = 1 ?

(Le rouge pour noter la classe mod 251).

Merci pour réponses.
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[invitea41c27c1]

Il faut démontrer 6²⁵¹ = 1 ?

Rectification : Il faut démontrer que

ET :

(Tout ça modulo 251).

La première condition n'est pas à démontrer et pour la deuxième il suffit de le faire pour et (car ).
Bon reste à calculer .......

[invite7ffe9b6a]

Bonjour, il n'y a pas un résultat qui dit que puisque pgcd(6,251)=1 alors 6 engendre Z/251Z ?

[breukin]

Il s'agit d'engendrer Z/251Z* et non Z/251Z.
Z/251Z* possède phi(251)=250 éléments, et possède phi(250) = 100 générateurs.
Tous les 250 éléments vont vérifier x²⁵⁰=1 (petit théorème de Fermat)

Mais il me semblait qu'un générateur g devait vérifier g^d ≠ 1 pour tout d<250 et non pour tout diviseur.
Donc cela voudrait dire que si h n'est pas générateur, alors la puissance inférieure à 250 qui génère 1 est nécessairement un diviseur de 250 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[FAN FAN]

Rectification : Il faut démontrer que

ET :

(Tout ça modulo 251).

La première condition n'est pas à démontrer et pour la deuxième il suffit de le faire pour et (car ).
Bon reste à calculer .......

Oui, tu as raison puisque 250 est l'ordre du groupe cyclique multiplicatif (Z/251Z)*

[leon1789]

Bon reste à calculer .......

Oui, mais c'est pas si compliqué avec une exponentiation dichotomique modulo 251. Ne pas oublier de travailler en représentation centrée {-125, -124, ...0, ..125}, plus pratique pour élever au carré !

[invitea41c27c1]

Bonjour, il n'y a pas un résultat qui dit que puisque pgcd(6,251)=1 alors 6 engendre Z/251Z ?

Non, c'est plutot:
pgcd(6,251)=1 <=> 6 est inversible dans Z/251Z.