Récriproque système d'équation (

[inviteafcb79ac]

Bonjour.

Je dois rendre un travail écris et j'ai une question à laquelle je suis bloqué. J'ai besoin de votre aide ! Merci.

Voici le problème :

Soit un système : (qui peut aussi s'écrit sous la forme matricielle Ax = y)

y₁ = 1x₁ + 2x₂
y₂= 1x₁ + cx₂
y₃= 3x₁ + 6x₂

La question est la suivante : Pour toutes valeurs de c telles que F est injective, calculer la réciproque F^-1

Je sais que F est injective pour toutes les valeurs de c différent de 2. En effet, lorsque c=2 alors le rang* = 1 < n (=2)--> donc pas injective. * Calcul du rang avec la forme normal N_A

Mon idée pour exprimer la réciproque aurait été de mettre le système par raport à x, comme je l'aurais fait pour une équation simple genre y = 2x --> réciproque : x =y/2.

Mais comme il s'agit d'un système de fonction avec trois équations et 2 inconnues et bien je sais pas comment m'y prendre.

Avez-vous une idée pour répondre à la question de l'exerice ?


Merci d'avance !

Leo87
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[taladris]

Salut,

il faudrait expliquer tes notations (c'est quoi F? n?), même si on arrive à deviner.
Le problème ici, c'est que F est une application de R^2 dans R^3. Même si F est de rang maximum (ici 2 quand c est différent de 2), Im F va être distinct de R^3 et donc F non surjective.
Donc F^{-1} n'existe pas... Au mieux, tu peux exprimer x_1,x_2 et x_3 en fonction d'une de ces trois variables.

[inviteafcb79ac]

F c'est la fonction F(x₁,x₂) = y₁, y₂, y₃

n c'est le nombre de colonnes de la matrice mxn (3x2).

Mon prof m'a pourtant qui qu'on arriverait à expimer la fonction récirpoque. Cela doit donner si je crois un truc du genre:

Système :

x₁= .....
x₂ =.....

Mais c'est justement là que je bloque. j'arrive pas résoudre se système à 2 inconnues et le mettre par rapport à y.

[taladris]

Mon prof m'a pourtant qui qu'on arriverait à expimer la fonction récirpoque.

Tu es sûr d'avoir compris ce qu'à dit le prof? Je réaffirme que pour tout c, F n'est pas surjective.
Par exemple, si c=0, quel serait l'antécédent de (2,0,5) ?
Pas de surjectivité, pas de réciproque.

J'en profite pour corriger une erreur:

Au mieux, tu peux exprimer x_1,x_2 et x_3 en fonction d'une de ces trois variables.

C'est évidement faux (pas de variable x_3)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

On voit déjà que y3 = 3 y1 sinon ça ne marche pas.
Alors il est facile si c différent de 2 d'inverser les relations et donner x1 et x2 en fonction de y1 et y2. On ajoute la condition y3 = 3 y1.
Bizarre la formulation quand même.