sous espace propre et orthogonalité

[inviteb7283ac9]

Bonjour,
J'ai un endomorphisme f diagonalisable
f est orthogonal, sa matrice est symétrique (je la connais explicitement)
J'ai déterminé l'espace propre E(1) associé à la valeur propre 1

On me demande :"Montrer que l'espace propre E(-1) vérifie . En utilisant l'équation caractérisant E(1), en déduire un vecteur générateur de E(-1)"

Moi j'avais envie de calculer un vecteur générateur de E(-1)
Ensuite j'aurais montré que E(-1) est inclu ds
Enfin je prouve l'égalité des dimensions et le tour était joué.
Seulement si je fais cela je ne suis pas l'esprit de la question. Comment faire alors ?

Merci de votre collaboration
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[inviteb7283ac9]

peut etre manquez vous d'info pour me répondre alors voici le pb complet :
"f endomorphisme dont la matrice ds la base canonique est :

a/ sans calculs justifier que f est diagonalisable ds une base orthonormée
b/montrer que f est orthogonal. En déduire les seules valeurs propres possibles pour f
c/déterminer, à l'aide de la trace de , la multiplicité de ses valeurs propres. En déduire le polynome caractéristique et le polynome minimal de f
d/ déterminer E(1) espace propre associé à la valeur propre 1
e/Montrer que l'espace propre E(-1) vérifie . En utilisant l'équation caractérisant E(1), en déduire un vecteur générateur de E(-1)

[invite57a1e779]

Bonjour,

j'aurais montré que E(-1) est inclu ds
Enfin je prouve l'égalité des dimensions et le tour était joué.

Ces deux résultats suffisent pour prouve l'égalité .

Ensuite, tu calcules un vecteur générateur de .

[inviteb7283ac9]

merci pour ta réponse, je venais de trouver la démo du théorème ds le cas général (f auto adjoint implique ss espaces propres orthogonaux 2 à 2) au moment ou tu m'as répondu. Merci qd meme

[A voir en vidéo sur Futura]