Inégalités

[invite5c98d667]

Bonjour,

J'ai du mal à résoudre l'exercice ci-dessous, pouvez-vous me donner des indications?:

En utilisant l’inégalité √(x+y)≪√x + √y, valable en R+, en déduire que |√x- √y| ≪ √(|x-y|).

Merci d'avance.
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[invite769a1844]

Salut,

si par exemple , tu écris la première inégalité en remplaçant par .

[invite5c98d667]

D'accord, mais arrivée au stade:

|√(x+(x-y))|≪ |√x+ √(x-y)|, comment je continue?

[invite769a1844]

Désolé ma langue a fourché, au lieu de remplacer y par z, c'est x que tu remplaces par z.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited78e0bbb]

salut,
pour x plus grand que y
Et là tu utilises le résultat précédent, l'inégalité sur la somme et tu conclus, ok ?

[invite5c98d667]

Heu..Je vois bien comment faire mais je reste bloquée à l'étape: √(x+y )≤√(x-y )+ √y + √y

[invited78e0bbb]

d'où en soustrayant de chaque côté


Pour la valeur absolue je te laisse faire c'est pas bien compliqué

[invite5c98d667]

Ok, c'est bon, c'est ce que j'avais fait après avoir envoyé le dernier message. Je vous remercie!

[invite5c98d667]

Maintenant, à partir de cette inégalité, comment vérifier que l'application qui à x associe la fonction √x est uniformément continue sur R+?

[invited78e0bbb]

héhé je savais que c'était pour montrer l'uniforme continuité, c'est un classique.
Et bien il suffit de prendre

[invite5c98d667]

On montre que la fonction réciproque c'est à dire x² est continue et de la, on en déduit la continuité de √x?

[invited78e0bbb]

Non tu pars juste de la définition de l'uniforme continuité et du résultat obtenu précédemment.
avec

[invite5c98d667]

c'est bon, j'ai réussi, merci!