VARD , espérance .....

[invitec7f96499]

bonsoir a tous, j ai besoin d un petit coup de pouce pour ca :
soit K dans [1,2n]. Dans un sac contenant 2n cartons numérotés de 1 à 2n, un joueur effectue 2 tirages avec remise. Le résutat du jeu est le premier numéro tiré si celui ci est superieur ou égal à k, le deuxieme sinon.
X1 : vard égale au numéro du premier carton tiré
Y : vard égale au résultat du jeu
1) Loi de X1 et espérance, bon ca c est easy...
2 ) soit j dans [1,2n] , loi conditionnelle de y sachant [X1=j]
j ai 1/2n si j<k, 0 si j>=k et i différent de j , 1 si j>=k et i=j
3) c est la que je bloque : il faut trouver
E(Y)=E(X1)+ (k-1)(2n+1-k)/4n

il me reste du j dans E(y) provenant du jP(y=j) dans la somme donc je sais pas trop quoi faire...
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[inviteaeeb6d8b]

Bonsoir,

bonsoir a tous, j ai besoin d un petit coup de pouce pour ca :
soit K dans [1,2n]. Dans un sac contenant 2n cartons numérotés de 1 à 2n, un joueur effectue 2 tirages avec remise. Le résutat du jeu est le premier numéro tiré si celui ci est superieur ou égal à k, le deuxieme sinon.
X1 : vard égale au numéro du premier carton tiré
Y : vard égale au résultat du jeu

Vard pour ? Variable aléatoire réelle discrète, c'est ça ?

1) Loi de X1 et espérance, bon ca c est easy...

Bon, on te fait confiance...

2 ) soit j dans [1,2n] , loi conditionnelle de y sachant [X1=j]
j ai 1/2n si j<k, 0 si j>=k et i différent de j , 1 si j>=k et i=j

ouais... ta réponse n'est pas super bien rédigée... bon je rédige un peu :

supposons , alors :
pour et si

supposons alors :

où est la v.a. "numéro du deuxième carton"
(on utilise bien l'indépendance des tirages et le fait qu'il y ait remise)

3) c est la que je bloque : il faut trouver
E(Y)=E(X1)+ (k-1)(2n+1-k)/4n

il me reste du j dans E(y) provenant du jP(y=j) dans la somme donc je sais pas trop quoi faire...

Tout dépend de tes connaissances sur l'espérance conditionnelle...
mais si tu connais ce genre de choses :

tu peux t'en sortir...



si , on a , donc :


si , on a pour et si donc


donc



avec

et on peut terminer facilement...

(j'espère ne pas avoir fait d'erreur de calcul...)

[inviteaeeb6d8b]

avec j'ai pas vu les simplifications...

(j'espère ne pas avoir fait d'erreur de calcul...)

encore...

EDIT : c'est bon, en utilisant le fait que et en simplifiant un tout petit peu on trouve le résultat voulu !

[invitec7f96499]

a oui nan ca on pas vu.... je connais que les formules classiques theoreme de transfert etc... mais la j ai utilisé la standard i.e iP(x=i) et je trouve (k-1)(2n+1)/4n +j(2n-k+1)/2n , donc bon comme y a du j c est impossible...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaeeb6d8b]

a oui nan ca on pas vu.... je connais que les formules classiques theoreme de transfert etc... mais la j ai utilisé la standard i.e iP(x=i) et je trouve (k-1)(2n+1)/4n +j(2n-k+1)/2n , donc bon comme y a du j c est impossible...

Etant donné qu'à la question 2, tu calcules des lois conditionnelles, tu es amené naturellement à calculer l'espérance conditionnelle de sachant qui te permet de trouver l'espérance de via la somme pondérée par les probas (formule assez naturelle même si tu ne l'as pas vue).

A mon avis, la solution "naturelle" est celle que j'ai donnée...

[invitec7f96499]

c est surement naturel lorsque qu on maitrise la notion mais bon je vois pas trop pourquoi la méthode traditionnelle pose probleme et pourquoi je me retrouve avec du j.... (je précise quand meme que j ai calculé la loi de Y en passant par celle du couple (x,y), ce que l on sait faire.)

[inviteaeeb6d8b]

Si tu ne détailles pas tes calculs, je ne risque pas de pouvoir te dire où tu fais une erreur...

Si tu ne veux pas appliquer "ma" méthode, tu peux faire le calcul direct :


Il te faut donc trouver . Pour cela :


et avec la question 2, en découpant la somme, tu arrives aussi au résultat.

[invitec7f96499]

en gros mon probleme c est que je coupe la somme dans le calcul de E(Y) de i=1 à j-1 j isole le terme en j et je reprende de i=j+1 à 2n mais alors il reste du j venant du jP(Y=j) ...