partition de l'unité et Mayer-Vietoris

invite14e03d2a · 27/03/2009, 14h30

Bonjour,

je ne comprends pas la démonstration du fait que la suite de Mayer-Vietoris est exacte. Un point précis me pose problème. Je rappelle le début de la démonstration:
Soit M une variété $C^\infty$ telle que $M=U\cup V$ , U et V étant deux ouverts.
On a une suite exacte (appelée suite de Mayer-Vietoris) sur les formes différentielles:
$0\rightarrow \Omega^*(M)\rightarrow \Omega^*(U)\oplus\Omega^*(V) \rightarrow \Omega^*(U\cap V)\rightarrow 0$ ,
la deuxième application étant la restriction d'une forme à U et à V et la troisième la différence $(\omega,\tau)\mapsto \tau-\omega$ .
L'étape qui me pose est de montrer qu'étant donné une forme différentielle $\nu$ sur $U\cap V$ , il existe un couple $(\omega,\tau)\in\Omega^*(U)\oplus\Omega^*(V)$ tel que $\nu=\tau-\omega$ .
La preuve considère une partition de l'unité $(\rho_U,\rho_V)$ subordonnée à $\{U,V\}$ et pose $(\omega,\tau)=(-\rho_V\nu,\rho_U\nu)$ en affirmant que $\rho_V\nu$ est une forme sur U.

Je n'arrive pas à comprendre ce dernier point. Quelqu'un peut-il m'éclairer?

Merci d'avance.

invite5f67e63a · 27/03/2009, 19h21

Bonjour,
Ben vu que $\rho_V$ est a support dans V, tu peut prolonger $\rho_V\nu$ qui est à support dans $U\cap V$ à U tout entier. Si tu veux tu definis, u' comme une forme sur U définie par : elle est nulle hors de $U\cap V$ et elle vaut $\rho_V u$ sur $U\cap V$ .
Le fait que l'on ait une partition de l'unité assure que la forme u' sur U est bien lisse.

invite2ac85754 · 27/03/2009, 23h27

Cela peut faciliter les choses de disposer du

Lemme de prolongement
Soit $M$ une variété (toutes les variétés seront ici $C^\infty$ ), $V$ un ouvert de $M$ , et $\omega$ une forme différentielle sur $V$ dont le support est fermé dans $M$ .
Alors il existe une unique forme différentielle $\tilde{\omega}$ sur $M$ dont la restriction à $V$ est $\omega$ et dont la restriction à $M-V$ est nulle.

La preuve de cela consiste à le vérifier dans le cas facile où $M$ est un ouvert de $\mathbb{R}^n$ , puis à utiliser l'unicité pour en déduire le cas général via le choix d'un atlas de $M$ .

On peut ensuite montrer que l'application
$\Omega^*(U)\oplus\Omega^*(V) \rightarrow \Omega^*(U\cap V) \ , \quad (\omega,\tau)\mapsto \tau|_{U\cap V}-\omega|_{U\cap V}$
est surjective.
Pour cela, on choisit donc une partition de l'unité $\{\rho_U,\rho_V\}$ subordonnée à $\{U,V\}$ . On remarque que le support de $\rho_V$ est fermé dans $M$ , et donc que l'intersection de $U$
avec le support de $\rho_V$ est un fermé de $U$ .
Considérons à présent une forme différentielle $\nu$ sur l'ouvert $U\cap V$ , et notons $S$ le support de la forme differentielle $\rho_V\nu$ . On voit que $S$ un fermé dans l'intersection de $U$
avec le support de $\rho_V$ , et donc que $S$ est un fermé de $U$ . Si on applique le lemme de prolongement à la variété $U$ et à l'ouvert $U\cap V$ , on obtient donc une unique forme
différentielle $\tau$ sur $U$ dont la restriction à $U\cap V$ est $\rho_V\nu$ , et dont la restriction à $U-U\cap V$ est nulle.
On construit de la même manière à partir de $\rho_U$ et de $\nu$ une forme différentielle $\omega$ dont la restriction à $U\cap V$ est $-\rho_U\nu$ , et dont la restriction à
$V-U\cap V$ est nulle. On obtient donc l'égalité

$\tau|_{U\cap V}-\omega|_{U\cap V}=\rho_V\nu-(-\rho_U\nu)=\rho_V\nu+\rho_U\nu=\nu.$

invite14e03d2a · 29/03/2009, 18h03

Je vais regarder ce que vous avez écrit dans le détail.

Merci à vous

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