partition de l'unité et Mayer-Vietoris

[invite14e03d2a]

Bonjour,

je ne comprends pas la démonstration du fait que la suite de Mayer-Vietoris est exacte. Un point précis me pose problème. Je rappelle le début de la démonstration:
Soit M une variété telle que , U et V étant deux ouverts.
On a une suite exacte (appelée suite de Mayer-Vietoris) sur les formes différentielles:
,
la deuxième application étant la restriction d'une forme à U et à V et la troisième la différence .
L'étape qui me pose est de montrer qu'étant donné une forme différentielle sur , il existe un couple tel que .
La preuve considère une partition de l'unité subordonnée à et pose en affirmant que est une forme sur U.

Je n'arrive pas à comprendre ce dernier point. Quelqu'un peut-il m'éclairer?

Merci d'avance.
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[invite5f67e63a]

Bonjour,
Ben vu que est a support dans V, tu peut prolonger qui est à support dans à U tout entier. Si tu veux tu definis, u' comme une forme sur U définie par : elle est nulle hors de et elle vaut sur .
Le fait que l'on ait une partition de l'unité assure que la forme u' sur U est bien lisse.

[invite2ac85754]

Cela peut faciliter les choses de disposer du

Lemme de prolongement
Soit une variété (toutes les variétés seront ici ), un ouvert de , et une forme différentielle sur dont le support est fermé dans .
Alors il existe une unique forme différentielle sur dont la restriction à est et dont la restriction à est nulle.

La preuve de cela consiste à le vérifier dans le cas facile où est un ouvert de , puis à utiliser l'unicité pour en déduire le cas général via le choix d'un atlas de .

On peut ensuite montrer que l'application

est surjective.
Pour cela, on choisit donc une partition de l'unité subordonnée à . On remarque que le support de est fermé dans , et donc que l'intersection de
avec le support de est un fermé de .
Considérons à présent une forme différentielle sur l'ouvert , et notons le support de la forme differentielle . On voit que un fermé dans l'intersection de
avec le support de , et donc que est un fermé de . Si on applique le lemme de prolongement à la variété et à l'ouvert , on obtient donc une unique forme
différentielle sur dont la restriction à est , et dont la restriction à est nulle.
On construit de la même manière à partir de et de une forme différentielle dont la restriction à est , et dont la restriction à
est nulle. On obtient donc l'égalité

[invite14e03d2a]

Je vais regarder ce que vous avez écrit dans le détail.

Merci à vous

[A voir en vidéo sur Futura]