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partition de l'unité et Mayer-Vietoris



  1. #1
    taladris

    partition de l'unité et Mayer-Vietoris


    ------

    Bonjour,

    je ne comprends pas la démonstration du fait que la suite de Mayer-Vietoris est exacte. Un point précis me pose problème. Je rappelle le début de la démonstration:
    Soit M une variété telle que , U et V étant deux ouverts.
    On a une suite exacte (appelée suite de Mayer-Vietoris) sur les formes différentielles:
    ,
    la deuxième application étant la restriction d'une forme à U et à V et la troisième la différence .
    L'étape qui me pose est de montrer qu'étant donné une forme différentielle sur , il existe un couple tel que .
    La preuve considère une partition de l'unité subordonnée à et pose en affirmant que est une forme sur U.

    Je n'arrive pas à comprendre ce dernier point. Quelqu'un peut-il m'éclairer?

    Merci d'avance.

    -----
    Dernière modification par taladris ; 27/03/2009 à 14h33.

  2. Publicité
  3. #2
    invite58633955

    Re : partition de l'unité et Mayer-Vietoris

    Bonjour,
    Ben vu que est a support dans V, tu peut prolonger qui est à support dans à U tout entier. Si tu veux tu definis, u' comme une forme sur U définie par : elle est nulle hors de et elle vaut sur .
    Le fait que l'on ait une partition de l'unité assure que la forme u' sur U est bien lisse.

  4. #3
    specieuse

    Re : partition de l'unité et Mayer-Vietoris

    Cela peut faciliter les choses de disposer du

    Lemme de prolongement
    Soit une variété (toutes les variétés seront ici ), un ouvert de , et une forme différentielle sur dont le support est fermé dans .
    Alors il existe une unique forme différentielle sur dont la restriction à est et dont la restriction à est nulle.

    La preuve de cela consiste à le vérifier dans le cas facile où est un ouvert de , puis à utiliser l'unicité pour en déduire le cas général via le choix d'un atlas de .

    On peut ensuite montrer que l'application

    est surjective.
    Pour cela, on choisit donc une partition de l'unité subordonnée à . On remarque que le support de est fermé dans , et donc que l'intersection de
    avec le support de est un fermé de .
    Considérons à présent une forme différentielle sur l'ouvert , et notons le support de la forme differentielle . On voit que un fermé dans l'intersection de
    avec le support de , et donc que est un fermé de . Si on applique le lemme de prolongement à la variété et à l'ouvert , on obtient donc une unique forme
    différentielle sur dont la restriction à est , et dont la restriction à est nulle.
    On construit de la même manière à partir de et de une forme différentielle dont la restriction à est , et dont la restriction à
    est nulle. On obtient donc l'égalité


  5. #4
    taladris

    Re : partition de l'unité et Mayer-Vietoris

    Je vais regarder ce que vous avez écrit dans le détail.

    Merci à vous

  6. A voir en vidéo sur Futura

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