C'est quoi les mathématiques ?

[invite8a216543]

Bonsoir,
plus j'acquiers des connaissances en mathématiques (qui restent cependant minces), plus je crois apercevoir un schéma dans la construction des mathématiques :

En gros j'ai l'impression qu'on définie de nouveaux objets mathématiques à partir d'objets et de propriétés déjà existants, à partir de ces définitions, on énonce des propriétés, puis des théorèmes à partir de ce qu'on possède déjà.

Cela me fait penser un peu à un château de cartes à l'envers , si on enlève une des cartes, celles qui sont au dessus tombent.

Ma question est donc de savoir, si on remonte à l'envers l'ensemble des notions mathématiques, on arrive forcément à un "pied", à une sorte de "socle", à quoi cela correspond ? Quelles sont les "bases" des mathématiques ?

- Une seconde question un peu en rapport, lorsque l'on fait une démonstration mathématiques, pourquoi ne doit-on pas tout redéfinir, tout redémontrer depuis ce que j'ai appelé la "base" ?

Quel est le "but" d'une démonstration mathématiques ?

Merci.
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[invite2ac85754]

Il y a bien des manières de répondre (ou de non répondre à cette question), et chacun se fait sa vision des choses suivant des goûts et son histoire.

Pour ce que j'en comprends, l'un des caractères fondamentaux des mathématiques (mais je devrais dire, de ce qui m'intéresse dans les mathématiques), c'est leur très grand pouvoir d'expression. C'est ce pouvoir d'expression qui explique que l'on peut en faire quelque chose dans les sciences de la nature (le cas de la physique étant le plus frappant). Ce pouvoir expressif est alimenté par le côté constructif des mathématiques.

Il n'y a pas de socle premier à partir duquel on peut tout construire.
Le socle des mathématiques, c'est que chaque personne qui fait des mathématiques reconstruit tout elle même à chaque fois, en partant de là où elle se trouve, ni plus ni moins. Ensuite, une fois que l'on a choisi un point de départ, on peut développer assez loin la théorie. Par exemple, la théorie des ensembles est un point de départ qui permet de construire à peu près tous les objets mathématiques dont on a besoin aujourd'hui (la théorie des ensembles a donc un tres très grand pouvoir d'expression). Mais on ne peut pas démontrer qu'il y a un socle qui soutient la théorie des ensembles. La théorie des ensembles tient parce qu'on dit qu'elle tient... Ceci dit, il y a d'autres moyens de faire tenit les mathématiques. Par exemple, la théorie des catégories a un très grand pouvoir d'expression aussi (on peut aussi formuler la théorie des ensembles par la théorie des catégories).

On construit le discours mathématique de manière très rigoureuse (ce qui formellement peut être fait en organisant les énoncés sous forme de défintions, propositions, théorèmes, démonstration, etc), mais, je le répète, il n'y a cependant pas de socle absolu, privilégié et inébralable. Et c'est cela l'intérêt des mathématiques: car à chaque fois que l'on fait des mathématiques, on repense et on reconstruit totalement chacun des objets qui nous intéressent. Il n'y a pas le choix, et c'est là d'après moi le sens même des mathématiques.

Ce qui est le vrai point de départ, c'est l'intuition. Par exemple, l'intuition de ce que c'est qu'une "forme", de ce que c'est que la "continuité", de ce que c'est que le "discret", de ce que c'est qu'une "relation entre deux choses". Par exemple, si on découpe le plan en deux partie en traçant une droite D, et si on a un point A d'un côté, et un point B de l'autre côté, on imagine pas qu'il soit possible d'aller de A vers B de manière continue sans que le chemin passe par la droite D. Si on veut définir la notion de contuinité, on veut donc en particulier que ce que je viens d'énoncer soit vrai (c'est-à-dire soit un théorème). D'un certain point de vue, cette intuition de la continuité telle que je viens de l'énoncer est un "socle". Mais on veut que d'autres choses soient vraies en même temps. Par exemple, l'intuition de continuité contient aussi l'idée que je peut découper un espace continu en autant de petits morceaux que je veux (c'est une intuition qui est à la base du calcul infinitésimal). L'analyse telle qu'elle est enseignée est une théorie qui, entre autres, exprime bien les intuitions que j'ai données en exemple. Mais ce qu'il ya a retenir, c'est qu'avant même la preuve d'un théorème vraiment fondamental, il y a une intuition, et la volonté de la "rendre vraie" par une démontration dans un théorie mathématique bien écrite (et ça, on y arrive pas toujours...).

Lorsqu'on fait une théorie mathématique, on a donc tout un tas d'intuitions que l'on veut être des théorèmes. La théorie qui fait cela pourra alors être considérée
comme exprimant bien ces intuitions de bases. Et construire de telles théorie, c'est ça, justement, le travail des mathématiciens.

Je met l'intuition en premier lieu, car, contrairement à ce que nous suggère bien souvent l'enseignement à l'école et au lycée, les mathématiques ne sont pas gravées dans le marbre. Si demain je trouve, pour une raison ou pour une autre une autre théorie qui exprime bien mes intuitions, rien ne m'empêchera de l'utiliser, même si elle est en contradiction avec l'analyse classique (bien entendu, je ne pourrai plus alors prendre les théorèmes de l'analyse classique pour des théorèmes, tant que je ne les aurai
pas redémontrés dans ma nouvelle théorie). Ce genre de choses arrive régulièrement en mathématiques (par exemple, la géométrie contemporaine (je veux dire, celle fréquentée par les chercheurs en mathématiques aujourd'hui) n'est pas la même théorie que la géométrie d'il y a un siècle, même si toutes les intuitions et théorèmes importants de la géométrie "ancienne" sont aussi des théorèmes dans les versions récentes).

En fait, les mathématiques, c'est une sorte de va-et-viens entre l'intuition et l'écriture rigoureuse et systématique. Lorsqu'on développe un théorie, on passe par des aspects techniques pour construire des théories qui expriment bien toutes les intuitions qu'on veut; cet aspect technique est à la fois très pénible, et en même temps, il fait naître d'autre intuitions (parfois très loin de notre expérience directe du monde autre que mathématique), que l'on peu ensuite utiliser pour continuer la théorie, ou pour créer d'autres théories, etc.

A la fin, ce qu'on a, ce n'est donc pas du tout un socle, mais ce mouvement de va-et-vient, "intuition-écriture".

Pour répondre un peu mieux à tes questions, en pratique, on se met d'accord sur un point de départ, qui jouera le rôle du "socle" malgré tout, et on défini puis démontre tout à partir de ce "socle". En mathématiques, poser un socle, c'est poser des axiomes, c'est-à-dire des énoncés que l'on considèrera comme vrais, non pas parce qu'on les a démontrés mais parce qu'on a décidé qu'il en serait ainsi (on met donc en place une "vérité" qui est toute relative, et qui n'aura lieu que dans le cadre d'un discours très précis). Par exemple, pour faire de la géométrie euclidienne dans le plan on prendra pour axiome:
1) "si j'ai deux points distincts dans le plan, il existe une unique droite qui passe par ces deux points"
2) "si j'ai une droite D et un point A en dehors de cette droite, alors il existe une
unique droite parallèle à D qui passe par A."
etc, etc...
On ne redémontre pas tout à chaque fois, mais, je suis d'accord, on devrait. L'idée, c'est que,
lorsqu'on fait une démonstration, on part d'hypothèses, et on veut démontrer un énoncé. Pour cela, on utilise éventuellement d'autres théorèmes. On pourrait objecter que ce n'est pas rigoureux, puisqu'il faudrait remonter aux axiomes. Mais à cela, il y a une réponse simple: la preuve est rigoureuse si on prend comme axiomes les hypothèses de l'énoncé que l'on veut démontrer, ainsi que les théorèmes que l'on utilise dans la preuve. Ainsi, chaque preuve est une sorte de petite théorie en soit. En mettant toutes les preuves que l'on connait, on a ensuite une vue d'ensemble de la théorie globale (celle qui repose uniquement sur les énoncés que l'on veut considérer comme des axiomes). Cela montre aussi que cet aspect très relatif du "socle" que j'ai voulu mettre en avant plus haut est à la base même de la pratique des mathématiques!

[invite4ef352d8]

D'un point de vue tres formelle cette "base" ce sont les axiomes : une famille de proposition qu'on "considère comme vrai". mais ce genre de considération est du ressort de la logique, en pratique et pour beaucoup de gens (mais ceci est question d'opinion personelle) cette base est donné par des "notions intuitives" (qu'on appelle 'naïve' ) comme de savoir ce qu'est un ensemble, ce qu'un nombre entier... et dont on connais les propriété de base : on sais ce qu'est un ensemble, ce qu'est la réunion de deux ensemble , leur produit etc... de meme on sais ce qu'est la somme de deux entier et on est convaincu par le principe de récurrence sur les entier...

les axiomes servent 'juste' à formaliser ces notion naives : mais ils sont introduit dans un cadre extremement formelle qu'on utilise pas dans la pratique pour faire des maths. (enfin sauf quand on fais de la logique, ou dans de tres rare cas ou on tombe sur des problèmes liée à la définitions meme des objet qu'on manipule... )

[invite4ef352d8]

Pour la seconde question... tous simplement parceque ca ferai des démonstrations de plusieurs centaines de pages pour démontrer des choses tres simple. et qu'une fois qu'on à démontrer quelque chose on à aucune raison de ce priver de l'utiliser dans une autre démonstration.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

"(on peut aussi formuler la théorie des ensembles par la théorie des catégories)." >>> tu es sur de ce que tu dis ? j'ai jammais vu de définition axiomatique d'une théorie des catégorie, et je vois vraiment pas à quoi ca pourrait ressembler, ni comment on pourait construire des modèles de ZF avec...

[invite2ac85754]

On peut produire des modèles (au sens de la théorie des modèles) d'à peu près toute sorte de logique en termes de topos (ce sont des catégories qui ressemblent beaucoup à des catégories de faisceaux, introduites par Grothendieck pour faire de la géométrie algébrique, mais aussi revisités et un peu généralisés pour les besoins de la cause par Lawvere dans les années 60 pour faire de la logique; ce sont les travaux de Lawvere et Tierney qui on menés à maturité ce point "toposique" dans les années 70). Une présentation très (trop) succinte d'une possible fondation des mathématiques est donnée à la toute fin du livre de MacLane Categories for the working mathematician, Springer, 2nd edition (1998).
Pour un aperçu beaucoup plus complet d'une application de la théorie des catégories à la logique, il y a le très beau livre de MacLane et Moerdijk Sheaves in geometry and logic: A first introduction to topos theory, Springer (1994).
Le lambda-calcul peut aussi se formuler de manière complètement catégorique: il s'agit essentiellement de tout formuler en termes de catégorie monoïdale symétrique fermée.

Pour quelques références en français, Alain Prouté a mis en ligne des notes de cours d'introduction à la logique catégorique (niveau master 2) sur sa page: http://people.math.jussieu.fr/~alp/ (mais on y trouve aussi pas mal d'autres textes tout à fait accessibles).

[invitebe0cd90e]

Je ne sais pas si c'est le schema auquel tu penses, et on me dira peut etre que c'est un point de vue d'algebriste, mais un point de vue qui me semble pertinent à propos des maths est le suivant : "on ne s'interresse pas aux objets, mais aux relations entre les objets".

Donc bien souvent on fonde une theorie en partant d'un objet qui nous est familier (une figure geometrique, les entiers, ..) ou a u plus haut niveau un objet qui apparait naturellement. Ensuite, on essaie "d'abstraire" les propriétés de cet objet, cad qu'on essaie de demontrer des choses en utilisant seulement certaines propriété de l'objet en oubliant au maximum ce qu'il a de particulier. Ensuite, on peut s'amuser a definir de facon abstraite la famille des objets qui partagent avec notre objet de depart ces propriétés essentielles. Par exemple, certaine demonstration qui concernent les entiers n'utilisent en fait que des propriétés des opérations que l'on peut abstraire, ce qui donne au besoin la notion d'anneau, celle d'anneau euclidien, etc.. Par exemple, la demo du fait que , vraie pour les entiers, se transpose sans aucun effort dans tout anneau commutatif.

c'est souvent un guide dans la recherche mathematique de se demander "ai je vraiment besoin de cette hypothese, de cette propriété particuliere". On aime bien rester general le plus longtemps possible, et ne particulariser que quand c'est vraiment necessaire. Et tu verras que beaucoup d'objets definis par des axiomes en apparence complexes ou un peu parachutés, sont juste "des trucs fait sur mesure pour ressembler à..." un truc intuitif.

Ensuite, effectivement on ne revient jamais aux axiomes de base, et ce essentiellement parce qu'on s'appuie d'une part sur des hypotheses qui cadrent le contexte, et qui peuvent donc etre utilisée directement, et d'autre part sur des theoremes deja existant, qui sont considérés comme vrais et donc qui nous evite d'avoir a remonter plus loin. Il y a aussi le fait que pour ne pas surcharger la preuve, on use (et parfois abuse) de formules telles que "un calcul montre que", "les autres ca sont similaires", "il est evident que", etc... On s'attache plus souvent a faire passer les idées qui font que ca marche, a donner les "raisons profondes" qui font fonctionner les choses, qu'a se noyer dans les details techniques.

[invite96932cc8]

définition d'une démonstration: suite d'évidences capable de convaincre de façon totale quelqu'un qui est déjà bien au courant!

[invite6754323456711]

"on ne s'interresse pas aux objets, mais aux relations entre les objets".

Question totalement naïve.

Si on ne s'intéresse pas aux objets en tant que tel mais aux relations entre objets. De quel objet est-il alors question ? On ne sait (ne veux) pas les définir formellement (ils restent une intuition) mais on sait formaliser leurs caractéristiques. Vouloir les définir en tant que tel cela n'apporte que peut d'intérêt pour les comprendre et surtout pour les manipuler (l'intérêt étant avant tout de les manipuler) ?

Patrick