Bonjour,
Je veux comprendre qu'est ce que ça veut le GRADIENT, la DIVERGENCE et le ROTATIONEL ensuite c koi un:
gradient d'un scalaire?
gradient d'un vecteur?
divergence d'un vecteur?
c koi un tenseur?
pq la divergence d'un vecteur n'existe pas?
le rotationel d'un vecteur?
la placien?
aprés est ce que je peux avoir l'application de chaqu'un
et Merci d'avance
Slt,
C'est tout un programme dis doncJe vais me contenter de te donner l'intuition de ce que sont ces objets, pour des définitions précise va consulter un cours ou un bouquin.
D'abord, disons que c'est la théorie de la dérivation à plusieurs variables. Pour fixer les idées prenons des fonctions à deux ou trois variables f(x,y) ou f(x,y,z). Elle peut avoir des valeurs scalaire (un nombre) ou vectorielles. Exemples:
T(x,y,z) température au point de coordonnées (x,y,z)
v(x,y,z) vecteur donnant la vitesse du vent et sa direction au point (x,y,z)
En physique on parle de champ scalaire et champ de vecteurs (ou champs de forces quand les vecteurs sont des forces).
1- Le gradient
Le gradient s'applique à un champs SCALAIRE et c'est un champ de vecteurs. Intuitivement, c'est la donnée en chaque point d'un vecteur qui donne la direction de la plus grande augmentation du champs scalaire. Exemple, tu regarde la température en un point, et tu te déplace (sur une toute petite distance) à partir de ce point dans plusieurs directions. La température varie, tu chauffe ou tu refroidi. Il y a une direction ou sa chauffe le plus (sauf si la température est localement constante). La norme de vecteur est proportionnelle à la variation de température. Tu ne peux pas calculer le gradient d'un champs de vecteurs car ça na aucun sens de dire qu'une fonction à valeurs vectorielles augmente ou diminue.
2- La divergence
Sur un exemple. Imagine un verre d'eau dans lequel tu dilue une solution constituée d'un certain type de molécule M. Au début de l'expérience le produit est mal dilué, la concentration n'est pas la même partout, tu définis une fonction concentration c(x,y,z) qui dépend du point ou tu te trouve (par exemple imagine un verre d'eau dans lequel on verse du sirop de grenadine, on voit si le sirop est bien ou pas bien dilué à la couleur plus ou moins foncée, tu peux imaginer que la fonction c est l fonction couleur). Tu veux étudier l'évolution de la concentration, mais bien entendu tu ne peux pas suivre chaque molécule une à une (ce serait pas raisonnable
La divergence du champ de VECTEURS d donne l'évolution locale de la concentration.
D'abord parlons un peu géographie (si si ça a un rapport). Les géographes on inventé un moyen pratique de représenter des mouvements de population sur une carte sans pour autant suivre un à un chaque habitant. Par exemple, en France, pour étudier la variation de population annuelle par département, tu compte le nombre de personnes qui ont quitté le département, soustrait le nombre de personnes qui ont emménagé dans le département, tu colorie le département en fonction du résultat que tu as trouvé. Mais bien sûr ce n'est pas très précis puisque c'est une moyenne sur un an et sur un département, pour être plus précis il faut faire le calcul sur des périodes plus courtes et diviser le département en zones. Pour calculer la divergence du champ d en un point, tu considère un zone toute petite autour de ton point, tu considère un temps très petit et tu compte les molécules qui sorte de ta zone auquelles tu soustrait celles qui rentrent pendant ce court temps. Tout ceci en fonction du déplacement donné par le champs d. Ca n'a aucun sens de calculer la divergence d'un champs scalaire puisqu'il faut pouvoir interpréter le champ comme un champ de déplacement.
3- Le Laplacien
C'est la divergence du gradient et donc un scalaire qui ce calcul à partir d'un champs scalaire (il existe aussi un laplacien vecteur qui se calcule à partir d'un champ de vecteurs mais je ne vais pas en parler plusce que ça, c'est une simple généralisation du laplacien scalaire). Sur mon exemple de la partie 2: J'ai dit que pour déduire le champ d à partir du champ c il fallait un modèle, et bien justement. Il y a un modèle pour la diffusion de particules. Tu dis que les particules sont comme des gens dans une pièce, ils ont tendance à s'écarter les uns des autres pour occuper tous l'espace. Que fait une personne qui se trouve dans une région concentrée ? elle regarde autour d'elle pour voir dans quelle direction la concentration diminue le plus : elle suit la direction du gradient de concentration, en fait l'opposé du gradient (le gradient donne la direction dans laquelle la concentration augmente). Ainsi le modèle est:
d(x,y,z)=-Cte grad(c(x,y,z))
ou la constante est appelée coefficient de diffusion
et
div(d(x,y,z))=div(-Cte grad(c(x,y,z)))
=-Cte div(grad(c(x,y,z))
(car on peut montrer que la divergence est linéaire)
=lapl(c(x,y,z))
Quand on met tout bout à bout on obtient que la variation locale et instantannée (la dérivée par rapport au temps)de la concentration est donnée par:
ou le laplacien est calculé en temps fixé avec les variables x y et z. Cette équation est appelée équation de diffusion ou équation de la chaleur, puisqu'on modélise la propagation de la chaleur de la même façon que la diffusion de particules.
bon, pour les tenseurs et le rotationnel tu attendras, parce que là j'en peux plus
