Calcul d'un volume/Formule des douaniers

[invited6756f86]

Bonjour,
Je suis actuellement étudiant en PC, et dans le cadre de mon TIPE, j'aurai besoin de calculer un volume, qui dans sa forme n'est pas très compliqué, mais me donne du fil à retordre..

Il s'agit en gros du volume d'un amphithéâtre (en considérant la paroi avec des marches lisses) que l'on aurait délimité par la pensée par un plafond au niveau de la dernière rangée de marches et par un mur plat collé à l'avant de l'amphi et du demi cercle au sol qui ferme ainsi le volume.
En gros ce serait une portion de cône : la base du cône est un cercle de rayon égal au rayon au sommet de l'amphi, puis on a coupé la pointe à un niveau où le rayon est égal au rayon de l'amphi à sa base, on a de plus coupé ce cône en deux perpendiculairement à sa base par un plan passant par le sommet.
Je ne sais pas si j'ai réussi à me faire comprendre, mais j'ai un peu de mal à décrire un volume sans le dessiner ..

Donc ce volume, est malgré tout plutôt régulier; il est délimité par trois surfaces planes et une de courbure très régulière..

Et donc je ne vois vraiment pas comment le calculer; je pourrai calculer le volume du cône correspondant, mais je ne vois pas comment passer de là au volume recherché, et je pense que le recours aux intégrales n'est pas ici nécessaire ..
Mon professeur de physique m'a parlé d'une formule appelée formule des douaniers qui sert dans ces cas là; mais selon Internet, elle n'existe pas, pure invention de mon prof ?

Merci d'avance pour votre aide.
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[Thorin]

ce serait sans doute plus clair si tu dessinais une vue de dessus, une vue de profil, etc...

[invited6756f86]

Bon, en fait c'est bon, j'ai eu la révélation en cliquant sur "créer la discussion" ( Vertus magiques de ce forum ?)

Il me suffit de calculer le volume du cône correspondant auquel je n'aurait qu'à soustraire le volume du «petit» cône que je lui aurait soustrait, puis à diviser le tout par deux?

Je suis malgré tout preneur s'il existe des solutions plus simples ou toutes faites..

Et se pose donc une autre question .. Comment calculer le volume d'un cône dont on connait le rayon à deux hauteur données? Enfin, cela me parait pas trop dur, sachant que le rayon varie linéairement avec la hauteur, je devrais pouvoir trouver l'équation rayon = f(hauteur), puis la hauteur simplement, non?

Désolé encore de cette discussion entre moi et moi même; je suis ouvert à tout commentaire

Et pour les curieux, le calcul de ce volume me sert pour étudier l'acoustique des amphithéâtres, je m'intéresse à la pertinence du choix des amphithéâtres comme lieux idéaux d'écoute, et je voulais vérifier le temps de réverbération d'un amphithéâtre à ciel ouvert en utilisant la formules de Sabine (en considérant les surfaces réelles comme surface réfléchissant complètement le son, et les surfaces virtuelles comme des surfaces absorbant tout le son). Ce n'est pas du tout central dans mon TIPE, mais constitue un critère parmi d'autres pour évaluer la pertinence des amphithéâtres .

[invited6756f86]

Pour Thorin, voici à quoi ressemble le volume dont je parlais, je n'ai pas fais d'autres vues, celle là me semble suffire. Pour plus de clarté je n'ai pas relié les deux bases, mais il faut évidemment voir les demis cercles comme parallèles entre eux et orthogonaux au trapèze de devant

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

Il me suffit de calculer le volume du cône correspondant auquel je n'aurait qu'à soustraire le volume du «petit» cône que je lui aurait soustrait, puis à diviser le tout par deux?

C'est une possibilité, le volume d'un cônede révolution de hauteur et de rayon à la base est . Il faudrait calculer la hauteur du « petit » cône à ajouter à l'amphithéâtre pour obtenir un « grand » cône...

Et se pose donc une autre question .. Comment calculer le volume d'un cône dont on connait le rayon à deux hauteur données? Enfin, cela me parait pas trop dur, sachant que le rayon varie linéairement avec la hauteur, je devrais pouvoir trouver l'équation rayon = f(hauteur), puis la hauteur simplement, non?

Si la hauteur de l'amphithéâtre est , le rayon à la hauteur est donné par , et le volume de l'amphitéâtre est donc

[invited6756f86]

Merci beaucoup pour ton aide ( Et désolé du temps mis )

[invite93845cf6]

Bonjour, moi j'ai fais ceci: (je ne sais pas si c'est juste)

- J'appelle a le rayon d'un demi-disque situé à une hauteur z au sein du volume. Et h est la hauteur totale du solide. R est le rayon de sa base supérieure. D'après le théorème de Thalès:

.
Soit .

-On calcule maintenant l'aire S(z) de ce demi-disque:


.

-On peut calculer le volume V:

.



.

Est-ce que c'est bon ?
Merci beaucoup.

[invited6756f86]

Merci de ta réponse SebMC12
Je suis d'accord avec toutes tes lignes de calcul, mais j'avoue que j'ai un peu de mal à saisir où a été utilisé le théorème de Thalès dans ta première ligne? Je trouverai étrange que V ne tienne pas compte de r, le rayon du demi disque de la base inférieure.

Ah, j'ai compris, d'après ta formule de a(qui s'annule pour z=h), tu as pris le demi cône entier, tandis que mon demi cône est tronqué de son sommet.
Tes calculs sont donc bons, pour obtenir ce que je voulais, il suffit que je retire le petit cône en trop (de base le demi disque de rayon r) et on obtiendrait la formule de God's breath.
Merci de ton intervention

[invite93845cf6]

Merci de ta réponse SebMC12
Je suis d'accord avec toutes tes lignes de calcul, mais j'avoue que j'ai un peu de mal à saisir où a été utilisé le théorème de Thalès dans ta première ligne? Je trouverai étrange que V ne tienne pas compte de r, le rayon du demi disque de la base inférieure.

Ah, j'ai compris, d'après ta formule de a(qui s'annule pour z=h), tu as pris le demi cône entier, tandis que mon demi cône est tronqué de son sommet.
Tes calculs sont donc bons, pour obtenir ce que je voulais, il suffit que je retire le petit cône en trop (de base le demi disque de rayon r) et on obtiendrait la formule de God's breath.
Merci de ton intervention

Ben de rien. Ca a l'air vraiment trop passionnant ce que l'on fait dans les études après bac !

[invite93845cf6]

J'ai fait un dessin en pièce jointe.