Opérateur de décalage, processus stochastiques...

[invitebb921944]

Bonjour,
j'ai du mal à intégrer la notion d'opérateur de décalage sur un processus stochastique.
En fait je dois montrer que si et sont des temps d'arrêt pour la filtration naturelle , alors est aussi un temps d'arrêt pour cette même filtration.
Mon calcul est le suivant :

.
Il est clair que et j'aimerais comprendre pourquoi .

En fait je n'ai pas bien compris cette histoire de trajectoire.
Que représente ?
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[inviteaeeb6d8b]

Bonjour,

peux-tu préciser ce que désigne ?

[invitebb921944]

Euh oui pardon,
l'opérateur de décalage est défini par :
où est une trajectoire du processus (auquel la filtration naturelle est attachée ).

[inviteaeeb6d8b]

OK, je comprends un peu mieux... mais pour là, je vois pas :

est un temps d'arrêt, c'est donc une application de dans (telle que : )

associe une trajectoire (une suite infinie de réels) à une nouvelle trajectoire.

Je ne vois pas comment on peut composer et ... Si le désigne autre chose, il faudrait peut-être le préciser

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

Le désigne bien la composition.
Le problème est que je ne peux pas correctement expliquer quelque chose que je n'ai pas bien compris.
Il est dit dans le cours
"Un processus à temps discret a donc même loi que le processus des coordonnées défini sur l'espace probabilisé des trajectoires de ce processus, où est la loi du processus. Cet espace est appelé espace canonique du processus. On peut donc toujours si on le souhaite ramener l'étude d'un processus à temps discret à celle d'un processus défini sur son espace canonique."

Il est ensuite question de l'exemple suivant (je mets juste l'essentiel) :
" Soit une suite de v.a. iid suivant une loi de Bernoulli (à valeur dans ). On pose et on considère le processus .

On introduit le temps d'attente du premier succès :

puis par récurrence pour le temps d'attente du -ième succès :
.
On voit aussi que si le processus était défini sur l'espace canonique associé à la suite , on aurait pu écrire :
. "

Voilà si ça peut aider à comprendre le principe...

[inviteaeeb6d8b]

Re !

J'avais compris la chose suivante, et ton message semble confirmer.

Il se pourrait que désigne un temps d'arrêt pour le processus .

Ceci est cohérent avec ton exemple :

Le temps attendu avant le ème succès est aussi la somme du temps attendu avant le ème succès et le temps écoulé entre le ème succès et le ème :

Or par indépendance des épreuves de Bernoulli : à l'instant , on peut remettre l'échelle des temps à zéro, et attendre le premier succès : on attend le premier succès pour le processus , et le temps écoulé est : .

Supposons que est le temps écoulé avant un succès A et est le temps écoulé avec un succès B.

Le temps d'arrêt (il faut montrer qu'il s'agit d'un temps d'arrêt avant de l'appeler ainsi) désigne le temps écoulé avant le succès A plus, le temps écoulé - à partir de cet instant - avant le succès B.

C'est plus clair ?

[invitebb921944]

Merci pour ces éclaircissements.
Lorsque tu dis
"Il se pourrait que désigne un temps d'arrêt pour le processus ", tu insinues que est -mesurable ?

[inviteaeeb6d8b]

Si j'ai bien compris (ce qui n'est pas forcément sûr)...



Ce qui permet de montrer que la v.a. considérée dans le message #1 est un t.a.

est -mesurable ?

Ta formulation n'est pas correcte : l'ensemble est ou n'est pas dans la tribu considérée.

[invitebb921944]

Merci bien pour ton aide, je vais encore y réfléchir.