Opérateur de décalage, processus stochastiques...

invitebb921944 · 18/04/2009, 10h06

Bonjour,
j'ai du mal à intégrer la notion d'opérateur de décalage sur un processus stochastique.
En fait je dois montrer que si $S$ et $T$ sont des temps d'arrêt pour la filtration naturelle $F_n ^X$ , alors $T+S \circ \theta_T$ est aussi un temps d'arrêt pour cette même filtration.
Mon calcul est le suivant :

$\{T+S\circ \theta_T =n\} = \bigcup_{k=0}^n ( \{T=k \}\cap \{S\circ \theta_k = n-k \} )$ .
Il est clair que $\{ T=k \} \in F_n ^X$ et j'aimerais comprendre pourquoi $\{S\circ \theta_k = n-k \} \in F_n ^X$ .

En fait je n'ai pas bien compris cette histoire de trajectoire.
Que représente $S\circ \theta_k$ ?

inviteaeeb6d8b · 18/04/2009, 12h22

Bonjour,

peux-tu préciser ce que désigne $\theta_k$ ?

invitebb921944 · 18/04/2009, 13h12

Euh oui pardon,
l'opérateur de décalage $\theta_k$ est défini par :
$\theta_k(x_0 ,x_1 , ..., x_n ,...)=(x_k , x_{k+1}, .... , x_n , ... )$ où $(x_0 , x_1 ,... , x_n ,...)$ est une trajectoire du processus $X$ (auquel la filtration naturelle $F_n ^X$ est attachée ).

inviteaeeb6d8b · 18/04/2009, 13h23

OK, je comprends un peu mieux... mais pour $S \circ \theta_k$ là, je vois pas :

$S$ est un temps d'arrêt, c'est donc une application de $\Omega$ dans $\mathbb{N} \cup \{\infty\}$ (telle que : $\forall n, \{S=n\} \in F_n^X$ )

$\theta_k$ associe une trajectoire (une suite infinie de réels) à une nouvelle trajectoire.

Je ne vois pas comment on peut composer $S$ et $\theta_k$ ... Si le $\circ$ désigne autre chose, il faudrait peut-être le préciser

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitebb921944 · 18/04/2009, 14h17

Le $\circ$ désigne bien la composition.
Le problème est que je ne peux pas correctement expliquer quelque chose que je n'ai pas bien compris.
Il est dit dans le cours
"Un processus à temps discret a donc même loi que le processus $(\xi_n )$ des coordonnées défini sur l'espace probabilisé $(E^{\mathbb{N}}, F, \mu )$ des trajectoires de ce processus, où $\mu$ est la loi du processus. Cet espace est appelé espace canonique du processus. On peut donc toujours si on le souhaite ramener l'étude d'un processus à temps discret à celle d'un processus défini sur son espace canonique."

Il est ensuite question de l'exemple suivant (je mets juste l'essentiel) :
" Soit $(X_n)_{n\in \mathbb{N}^* }$ une suite de v.a. iid suivant une loi de Bernoulli (à valeur dans $\{ 0,1\}$ ). On pose $S_n=\sum_{k=1}^n X_k$ et on considère le processus $(S_n)_{n\in \mathbb{N}}$ .

On introduit le temps d'attente du premier succès :
$T_1=\inf \{ n\geq 1 \ |\ X_n =1\} = \inf \{ n\geq 1 \ |\ S_n =1 \}$
puis par récurrence pour $k>1$ le temps d'attente du $k$ -ième succès :
$T_k= \inf \{ n\geq T_{k-1} \ |\ X_n =1\} = \inf \{ n\geq 1 \ |\ S_n =k \}$ .
On voit aussi que si le processus était défini sur l'espace canonique $\{0, 1 \}^{\mathbb{N}^* }$ associé à la suite $(X_n)_{n\in \mathbb{N}^* }$ , on aurait pu écrire :
$T_k=T_1 \circ \theta_{T_{k-1}} + T_{k-1}$ . "

Voilà si ça peut aider à comprendre le principe...

inviteaeeb6d8b · 18/04/2009, 14h39

Re !

J'avais compris la chose suivante, et ton message semble confirmer.

Il se pourrait que $T \circ \theta_k$ désigne un temps d'arrêt pour le processus $(X_{k+n})_{n}$ .

Ceci est cohérent avec ton exemple :
$T_k = T \circ \theta_{T_{k-1}} + T_{k-1}$
Le temps attendu avant le $k$ ème succès est aussi la somme du temps attendu avant le $k-1$ ème succès et le temps écoulé entre le $k-1$ ème succès et le $k$ ème :
$T_k = T_k - T_{k-1} + T_{k-1}$
Or par indépendance des épreuves de Bernoulli : à l'instant $T_{k-1}$ , on peut remettre l'échelle des temps à zéro, et attendre le premier succès : on attend le premier succès pour le processus $\theta_{T_{k-1}}$ , et le temps écoulé est : $T_k - T_{k-1} = T\circ \theta_{T_{k-1}}$ .

Supposons que $T$ est le temps écoulé avant un succès A et $S$ est le temps écoulé avec un succès B.

Le temps d'arrêt $T + S \circ \theta_T$ (il faut montrer qu'il s'agit d'un temps d'arrêt avant de l'appeler ainsi) désigne le temps écoulé avant le succès A plus, le temps écoulé - à partir de cet instant - avant le succès B.

C'est plus clair ?

invitebb921944 · 18/04/2009, 15h48

Merci pour ces éclaircissements.
Lorsque tu dis
"Il se pourrait que $T\circ \theta_k$ désigne un temps d'arrêt pour le processus $(X_{k+n})_n$ ", tu insinues que $\{ T \circ \theta_k = n \}$ est $(F_{n+k}^X )$ -mesurable ?

inviteaeeb6d8b · 18/04/2009, 16h00

Si j'ai bien compris (ce qui n'est pas forcément sûr)...

$\{ T \circ \theta_k = n \} = \{T = n+k\} \in F_{n+k}^X$

Ce qui permet de montrer que la v.a. considérée dans le message #1 est un t.a.

Envoyé par Ganash

$\{ T \circ \theta_k = n \}$ est $(F_{n+k}^X )$ -mesurable ?

Ta formulation n'est pas correcte : l'ensemble est ou n'est pas dans la tribu considérée.

invitebb921944 · 18/04/2009, 16h10

Merci bien pour ton aide, je vais encore y réfléchir.

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