integrale de domaine

[invite40f82214]

bonjour tous le monde,

En cours de mécanique le prof nous as posé une formule sans la démonstration se qui m'a fortement dérangé et c'est pour cela que je fait appel à vous car je n'arrive pas à retrouver le résultat.

=> Notre prof à pris l'exemple d'une grandeur quelconque I(t), cette grandeur est définie sur un domaine matériel on a:

* I(t) = f(x,y,z,t) dV

* Le prof nous a dit que la dérivée particulaire de I(t) nous donne:

D I(t)/Dt= dV

D'OU MA QUESTION MA DEMANDE

Pouvez vous me faire un rappel sur les integrales où le domaine depent du temps et es ce que quelqu'un pourrais m'expliquer d'où vient ce résultat.

merci beaucoup
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[invite40f82214]

une autre petite question qui va avec celle ci:

- pour un milieu continu la dérivée par rapport au temps d'une "integrale de domaine" et egale à l'intégrale de la dérivée de notre fonction.

Pouvez vous s'il vous plait m'expliquer mathématiquement pourquoi.

merci

[invite40f82214]

je dois le mettre en physique peut etre?

[invite40f82214]

pas une idée?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2d9f8ffe]

Salut
Il me semble-corrige moi si jhe trempe- qu on a fait
si je note d la derivée partielle et D la differentielle de x;
df(x,y,z,t)/dI== df/dx Dx + df/dy Dy+df/dz Dz +df/dt Dt
et qu'on separe les cordonées spatialles en div et laisse la temporelle.
Cava?

[invitea6f35777]

Salut,

Pour la dérivée particulaire c'est un concept de physique des mileux continus, il faut avoir bien compris la différence entre le formalisme Lagrangien et le formalisme Eulerien. Dans le formalisme d'Euler (utilisé habituellement pour les fluides) on ne suit pas les particules une à une et f(x,y,z,t) correspond à la valeur de f au temps t et pour la particule qui se trouve passer par là (au point de coordonnées x,y,z au temps t), à chaque temps c'est une particule différente à priori qui passe par ce point. La dérivée particulaire c'est la dérivée en suivant la particule on dérive par rapport au temps f(x(t),y(t),z(t),t) avec x y et z qui sont maintenant des fonctions de t qui correspondent à la trajectoire d'une particule,en particulier v=(x'(t),y'(t),z'(t)), si tu dérive tu trouve


où la divergence ne porte que sur les variables d'espace on peut bien sûr faire rentrer le vecteur dans la divergence puisque c'est une une fonction de t seulement et en abrégé ça donne


Pour dériver sous une intégrale, il y a des théorème avec des hypothèses à vérifier, intuivement


pour h petit

par linéarité de l'intégrale