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Vulgarisation polynomes d'Hilbert



  1. #1
    mx6

    Vulgarisation polynomes d'Hilbert


    ------

    Bonsoir,


    Je suis en TS spé maths, et je voudrais que quelqu'un m'explique les polynômes d'Hilbert, je comprend assez vite ^^

    PS: Je veux comprendre cette leçon, car je dois l'utiliser dans un problème.


    Merci d'avance !

    PS2: Si vous pouvez voir cette discussion, ca serait cool : http://forums.futura-sciences.com/ma...a-lespace.html

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Ksilver

    Re : Vulgarisation polynomes d'Hilbert

    Salut !

    si on parle bien de la meme chose, il s'agit des polynome :
    P0=1
    Pi=produit de k=0 à i-1 de (X-k) /i!

    ils vérifient les propriété suivante :

    Pi(n) est entier pour tous i et n entier.

    Pi(n)=0 pour tous 0<=n<i, et Pi(i) =1 ( et comme degrée de Pi=i, cette propriété caractérise les Pi...)

    apres ca dépend dans qu'elle contexte tu en a bessoin, ils servent essentielement à deux choses je crois :
    1) on à un résultat qui dit que :
    un polynome P vérifie P(n) est entier pour tous n si et seulement si il est à coeficient entier quand on le décompose dans la base des Pi cad : Pi est une famille écheloné en degrée, donc un polynome P s'ecrit de facon unique P=somme des ai*Pi pour i de 0 à degrée de P, avec ai des nombres réel ou complexe. P(n) entier pour tous n équivaut alors à tous les ai sont entier.
    (c'est un exercice assez classique de math sup... probablement faisable en terminal, mais pas forcement facile ^^)


    2) si je ne me trompe pas, ils donnent une methode astucieuse pour calculer somme de i=0 à n-1 de P(i) en fonction de P (P un polynome...)

    c'est basé sur le principe que somme de i=0 à n-1 de Pk(i) ca doit etre P(k+1), et donc il "suffit" de décomposer P dans la base des Pi et de "décaler" les coeficient de la décomposition... sachant que ces coeficient peuvent ce calculer de facon intelligente, en faisant intervenir l'opérateur D(P)=P(X+1)-P(X), et en regardant les valeurs de P(0), D(P)(0), D(D(P))(0) etc...

    si tu veux plus de détailes, je dois pouvoir te trouver ca ^^
    Dernière modification par Ksilver ; 24/04/2009 à 23h42.

  4. #3
    mx6

    Re : Vulgarisation polynomes d'Hilbert

    Grand merci à toi !!

    Tu as trouvé mon problème c'est de trouver les polynômes qui prennent des valeurs entières pour tout entier n !

    Les points noirs qui me dérangent sont :

    C'est quoi une base , on dit que ces polynômes ont une base de

    Et puis une petite définition de la matrice, endomorphisme.. j'ai envie de tout savoir

  5. #4
    Rincevent

    Re : Vulgarisation polynomes d'Hilbert

    salut,

    une base est un ensemble de vecteurs qui te permet d'écrire tout autre vecteur comme une combinaison linéaire unique de ceux-ci... mais pour voir les choses proprement, faut prendre dans l'ordre :

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_vectoriel

    dans le cas présent, tu peux aussi être pragmatique et retenir ça comme une façon sophistiquée de dire que tout polynôme de l'espace dont tu parles s'écrit comme une CL unique des polynômes de Hilbert. Reste que les autres défs que tu souhaites reposent elles aussi sur la notion d'EV... donc prends un bouquin d'algèbre linéaire et vas-y pas à pas...
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    mx6

    Re : Vulgarisation polynomes d'Hilbert

    Oki merci, je vais lire ce lien !

  8. #6
    Rincevent

    Re : Vulgarisation polynomes d'Hilbert

    tu dois pouvoir trouver des cours d'algèbre lineaire bien plus complet ailleurs sur le web... hésite pas à investir du temps sur ça car c'est à la base de très nombreuses autres choses en math (et pas seulement)
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

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  10. #7
    Ksilver

    Re : Vulgarisation polynomes d'Hilbert

    oula ^^

    c'est ce qu'on apelle l'algèbre lineaire tous ca... tu devrais consulter un cours de prépa, c'est encore la que ca sera le mieux expliqué ^^

    il faut déja savoir ce qu'est un espace vectorielle :

    un espace vectorielle (réel ou complexe) est un ensemble sur lequel on sait :
    1)additioner deux elements
    2) multiplier un element par un "scalaire" (c'est à dire un réel si on est dans le cas réel, un complexe si on est dans le cas complexe...)

    le tous vérifient des axiomes de compatibilité "naturelle" (que dans un vrai cours on donnerais entièrement ) : par exemple, l'adition est associative et comutative, la multiplication par un scalaire est distributive sur l'addition etc etc... tu n'as pas bessoin de savoir tous ca pour lire la suite du message ^^



    les exemples qu'il faut avoir en tête sont :
    1) les vecteur classique que tu connais bien (on sais les additioner et les multiplier par un scalaire...)
    2) les polynomes (on sais les additioner et les multiplier par des complexe...)


    un endormorphisme est une application d'un espace vectorielle dans lui meme qui va etre "compatible à la structure d'espace vectoriel" dans le sens : ou si a et b sont des elements de l'espace vectorielle, et lambda un scalaire, f(a+b)=f(a)+f(b) et f(lambda*a)=lambda*f(a)

    c'est le cas par exemple de la dérivation sur l'ensemble des polynomes, de l'application P->X*P sur l'ensemble des polynome ou des transformation "classique" sur l'ensemble des vecteurs (rotation de centre 0, affinité etc...mais pas les translation)

    Une base, c'est une famille qui engendre l'espace et qui est libre :
    c'est à dire (b1,...bn) est une base de E si et seulement si tous elements de x de E s'ecrit de facon unique sous la forme a1*b1+...+an*bn (avec a1...an des scalaires...)

    Si tout element s'ecrit sous cette forme, on dit que la famille est génératrice.
    Si une telle ecriture est unique (quand elle existe) on dit que la famille est libre.
    on parle de Base quand on à les deux en meme temps :

    ex : (1,x,x^2,x^3,...x^n,...) est une base de C[X] (elle est infini, on dit donc que C[X] est de dimension infinie)
    les vecteur (1,0,0), (0,1,0) (0,0,1) forme une base des vecteur de l'espace (... l'espace est donc de dimension 3 ^^ )

    on peut montrer que tout espace vectorielle admet une base, mais c'est parfois compliqué, et dans beaucoup de cas les bases sont impossible à décrire concretement (on sais que ca existe, mais on peut pas en donner...)

    pour les matrices :
    quand tu as un espace vectoriel E de dimension fini (cad qui admet une base fini c'est le cas Cn[X] = {polynomes de degrée <=n } )
    et un endormophisme f:E->E, on ce donne x1...xn une base de E,
    soit x un element quelconque de E, x s'ecrit :
    x=somme des ai*xi

    comme f est un endomorphisme on a:
    f(x)= f(somme des ai*xi= somme des f(ai*xi)= somme des ai*f(xi)

    donc en fait pour "connaitre" f il suffit de connaitre les f(xi).
    c'est la que la notion de matrices intervients : une matrice c'est un tableau ou chaque colone correspont aux coordoné dans la base xi des f(xi).
    le produit de matrice correspond à la composition des application linéaire associé...


    bon c'etait un résumé tres bref, il va probablement te manquer beaucoup de chose pour faire ton problème... mais cherche un cours de math sup sur l'algèbre linéaire et tu aura des choses tres détaillé, et probablement à ton niveau.

  11. #8
    mx6

    Re : Vulgarisation polynomes d'Hilbert

    Merci beaucoup !

    Ton résumé est nickel, biensur, je n'ai pas compris tout tout, mais j'ai une idée, en tout cas, je vais étudier ça ce weekend, je vous tiendrai compte de mes avancées dimanche soir ! Je viens de réaliser que j'ai des livres d'algèbre linéaire chez moi que je n'ai jamais ouvert

    A bientôt ! en merci encore

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