fonction d'une variable complexe

[invite3818b231]

salut,
pendant la résolution d'un éxercice j'ai rencontré un probleme , voici l'éxercice:
a)- Montrer que la fonction de deux variables réelle :
u(x,y)=exp(-x).(x.siny - y.cosy) est harmonique.
rep:
-On utilisant l'équation de laplace c,à,d la vérification de cette équation: d²u/dx² + d²u/dy² =0 ,j'ai trouvé un résultat différent de 0.

b)- déterminer v(x,y) telle que la fonction complexe f(z)=u(x,y) + iv(x,y) soit holomorphe . ce mot la n'éxiste pas dans mon cours .
j'ai imaginé d'utiliser la condition de cauchy-riman
du/dx =dv/dy
du/dy = -dv/dx
est ce que cette méthode est valable ou bien il ya une autre méthode pour démontrer que la fonction v(x,y) soit holomorphe.
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[KerLannais]

Slt,

Pour la première question tu as fais une erreur de calcul. Pour la deuxième question tu utilises la bonne méthode mais je trouve étrange que tu ais un cours avec les conditions de Cauchy-Riemann et sans la définition d'une fonction holomorphe. Une fonction holomorphe est une fonction d'un ouvert de dans qui est dérivable i.e. telle que pour tout dans son ensemble de définition:

existe et est finie. Il faut faire attention dans cette définition au fait que est complexe. Si tu note


il est facile de montrer que et sont dérivables et vérifient les conditions de Cauchy-Riemann.

[invite3818b231]

merci a votre aide
ce que j'ai compré c'est de faire déterminer la valeur de v(x,y) a partir de la condition couchy riemann dv=(du/dx )dy ,, telque du/dx connais on dérive parapour a (y ), en suite on démentre la validiter de la théoreme d'une fonction holomorphe f(z)= u(x,y) +iv(x,y)
il faut que lim(h-o) = f(z+h) - f(z) / h ,,,,,,,,, éxiste et est finie

est ce que vous étes d'accord avec moi ?
merci

[KerLannais]

Re

Oui c'est ça. Ce qu'on peut montrer plus généralement c'est que les parties réelles et imaginaires d'une fonction holomorphe sont toujours harmonique (quand on les considère comme des fonction sur par l'isomorphisme qui envoie la base sur la base ) et que réciproquement, pour toute fonction harmonique on peut toujours trouver une fonction holomorphe dont c'est la partie réelle ou la partie imaginaire (ce que tu fais sur un exemple dans ton exo).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3818b231]

merçi beaucoup pour vos éxplication **think you**