Algèbre linéaire : histoire et applications.

[invitea250c65c]

Bonjour à tous,

Je suis en MPSI et nous faisons en ce moment de l'algèbre linéaire.
Je me demandais de quoi, dans quel contexte historique et dans quel but cette branche des mathématiques était née.
Nous allons assez vite et ce n'est donc pas évident de se mettre à la place de ceux qui ont pensé ça en premier.

Peut-être pouvez-vous me renseigner un peu d'une part sur la naissance de l'algèbre linéaire, d'autre part sur ses applications, ou bien peut-être avec vous quelques liens intéressants.
Pourquoi définir ainsi un espace vectoriel ? Quelles sont les applications (mathématiques, physique, économie, ...) de la théorie de la dimension et des matrices? ...

Désolé ça peut paraitre curieux comme questions mais je trouve que ça aide à comprendre et que ça donne un certain recul (et une culture générale ) de savoir ce genre de choses.

Merci d'avance
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[Thorin]

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~...ar_spaces.html

Une application célèbre : http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_de_Minkowski

[invitebe0cd90e]

C'est assez difficile de répondre tant les matrices et les espaces vectoriels font partie d'un langage "de base" qu'on retrouve partout. Moralement l'idée est que :

- d'une part plein de choses peuvent etre representé par des espaces vectoriel ou des matrices
- d'autre part on dispose d'un arsenal theorique et algorithmique tres efficace qui fait qu'on a souvent interet a essayer de se ramener au langage de l'algebre linéaire.

Apres on ne peut pas tellement faire autre chose que de lister des exemples, forcement de maniere non exhaustive...

- deja, non seulement les systemes de plusieurs equations a plusieurs inconnues, mais aussi la plupart des schemas numeriques de resolution d'equations, d'equations différentielles... s'expriment enterme de (tres grandes) matrices, avec des applications en ingenierie, bio, stats, mecanique des fluides, et j'en passe.

- Des que tu manipules des coordonnées tu te retrouves avec des espaces vectoriels (si tu as un systeme physique avec 2 points qui ont une certaine position dans l'espace et une certaine vitesse, tu groupes tout ca dans un e.v. de dimension 12)

- la mecanique quantique repose en gros sur des espaces de hilbert (donc des e.v. potentiellement de dimension infini)

- dans la meme veine, beaucoup de problemes physiques se ramenent a des equations aux valeurs propres

- tu as aussi toute la theorie des representations (groupes, algebres de Lie) à la base de la physique des particules, de la physique et la chimie quantique, etc... Mais aussi utile en maths pures, y compris geo diff, topologie, meme theorie des noeuds si on cherche un peu

- une bonne partie des structures algebriques qu'on manipule en maths abstraites sont en particulier des espaces vectoriels ou des trucs qui y ressemblent (algèbres, modules, ..) donc meme si ca n'est plus vraiment central on retrouve les notions de bases, d'applications lineaires..

- en maths discretes aussi, que ce soit en cryptographie, approximation des irrationnels, factorisation des polynomes, .. on retrouve des matrices.

- evidemment il y a aussi la notion de transformation geometrique, utiles en infographie 2D et surtout 3D.

Et j'en passe probablement pas mal Je ne maitrise pas tout ca, mais si tu veux des details sur ces exemples...

[Flyingsquirrel]

Comme exemple d'application de l'algèbre linéaire dans la vie de tous les jours, il y a l'algorithme PageRank utilisé par Google.

[A voir en vidéo sur Futura]