Applications linéaire continues

invite769a1844 · 15/03/2008, 17h25

Bonsoir,

voilà encore une propriété que je n'arrive pas à démontrer:

Soit $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ .
On note $\text{[math]}$ l'ensemble des applications continues de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ .

Soit $\text{[math]}$ . Pour que l'application linéaire $\text{[math]}$ soit un isomorphisme de $\text{[math]}$ sur lui-même, il faut et il suffit que $\text{[math]}$ ne s'annule en aucun point de $\text{[math]}$ .

Déjà, pour l'implication directe, je bloque.

Pour l'implication réciproque c'est ok, on observe aisément que l'application linéaire $\text{[math]}$ est son inverse.

Merci pour vos indications.

invite2c3ff3cc · 15/03/2008, 17h33

Ou bien je comprends pas bien ou bien c'est vraiment simple.

Si phi ne s'annule pas l'application est clairement injective (phi(x)f(x) = 0 <=> f(x) = 0) et surjective (f/phi = image inverse de f).

Et si phi s'annule en un point les fonctions constantes n'ont pas d'antécédents.

invite769a1844 · 15/03/2008, 17h40

Envoyé par ThSQ

Et si phi s'annule en un point les fonctions constantes n'ont pas d'antécédents.

ok c'était cet argument qui m'échappait, j'ai encore une atre question:

comment-voit on que cette application linéaire est de norme $\text{[math]}$ , l'ensemble $\text{[math]}$ étant muni de la topologie de la convergence uniforme?

invite769a1844 · 15/03/2008, 18h06

Envoyé par rhomuald

ok c'était cet argument qui m'échappait, j'ai encore une atre question:

comment-voit on que cette application linéaire est de norme $\text{[math]}$ , l'ensemble $\text{[math]}$ étant muni de la topologie de la convergence uniforme?

Bon en fait, je crois que j'ai trouvé, en notant $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ,

$\text{[math]}$ ,

$\text{[math]}$ ,

$\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ ,

donc pour tout $\text{[math]}$ ,

$\text{[math]}$ ,

et donc $\text{[math]}$ .

En prenant la fontion $\text{[math]}$ constante $\text{[math]}$ , on a

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ ,

d'où l'égalité.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite769a1844 · 15/03/2008, 18h54

Voilà un autre exemple où j'ai du mal à calculer la norme:

Soient $\text{[math]}$ deux espaces compacts, et soit $\text{[math]}$ une application continue de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ .

L'application $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ est de norme 1.

invite57a1e779 · 16/03/2008, 09h55

Envoyé par rhomuald

Soient $\text{[math]}$ deux espaces compacts, et soit $\text{[math]}$ une application continue de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ .

L'application $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ est de norme 1.

Soit $\text{[math]}$

Pour tout $\text{[math]}$ élément de $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ , c'est-à-dire $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

D'autre part, si $\text{[math]}$ est constante, $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ .

Finalement, $\text{[math]}$ .

invite769a1844 · 16/03/2008, 12h35

D'accord, merci

invite769a1844 · 16/03/2008, 22h12

pourquoi $\text{[math]}$ muni de la norme de la convergence uniforme n'est pas complet ?

invite57a1e779 · 16/03/2008, 22h30

Envoyé par rhomuald

pourquoi $\text{[math]}$ muni de la norme de la convergence uniforme n'est pas complet ?

Il me semble bien qu'il est complet dès que $\text{[math]}$ l'est...

invite2c3ff3cc · 16/03/2008, 22h38

Mmmmmmmmm .

invite769a1844 · 16/03/2008, 22h53

Envoyé par God's Breath

Il me semble bien qu'il est complet dès que $\text{[math]}$ l'est...

Par $\text{[math]}$ , je désigne l'ensemble des fonctions numériques définies sur [0,1] qui ont une dérivée continue.

L'auteur dit que non, et fait aussi la remarque que toute application linéaire définie sur un Banach dans un evn est nécessairement continue (d'ailleurs je ne vois pas d'où sort cette propriété

).

Et il montre aussi que l'application linéaire $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ n'est pas continue.

Edit: pour la propriété, je viens de trouver un exo pour la montrer, ça n'a pas l'air de la tarte

invite57a1e779 · 16/03/2008, 22h54

Envoyé par ThSQ

Mmmmmmmmm.

Au temps pour moi, je n'avais pas vu l'exposant 1 :

Je définis la suite $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ et tout $\text{[math]}$ .

Elle converge uniformément sur $\text{[math]}$ , la limite $\text{[math]}$ étant donnée par $\text{[math]}$ .

Elle est donc de Cauchy dans $\text{[math]}$ , mais divergente, puisque sa limite éventuelle est élément de $\text{[math]}$ , mais pas de $\text{[math]}$ .

invite2c3ff3cc · 16/03/2008, 23h01

Envoyé par God's Breath

Au temps pour moi, je n'avais pas vu l'exposant 1 :

Exo : trouver une (autre donc) norme qui en fasse un Banach !

invite57a1e779 · 16/03/2008, 23h06

Envoyé par ThSQ

Exo : trouver une (autre donc) norme qui en fasse un Banach !

$\text{[math]}$

invite769a1844 · 16/03/2008, 23h14

Envoyé par God's Breath

Au temps pour moi, je n'avais pas vu l'exposant 1 :

Je définis la suite $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ et tout $\text{[math]}$ .

Elle converge uniformément sur $\text{[math]}$ , la limite $\text{[math]}$ étant donnée par $\text{[math]}$ .

Elle est donc de Cauchy dans $\text{[math]}$ , mais divergente, puisque sa limite éventuelle est élément de $\text{[math]}$ , mais pas de $\text{[math]}$ .

ok, merci pour le contre-exemple, j'ai encore du mal pour les saisir ces contre-exemples dans le cas de la convergence uniforme.

Envoyé par God's Breath

$\text{[math]}$

Bon je vais essayer de montrer que ça en fait un Banach

invite769a1844 · 16/03/2008, 23h26

Bon ça n'a pas l'air si long en fait sachant que $\text{[math]}$ est complet.

Donc je prends une suite $\text{[math]}$ de Cauchy dans $\text{[math]}$ , et je note aussi $\text{[math]}$ .

Il est clair que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont de Cauchy dans $\text{[math]}$ . Donc $\text{[math]}$ tend vers $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ tend vers $\text{[math]}$ .

Reste à voir que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

invite57a1e779 · 16/03/2008, 23h34

Envoyé par rhomuald

Reste à voir que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Ce qui résulte d'un théorème de dérivation terme à terme d'une suite ; tu comprendras peut-être pourquoi la convergence uniforme de la suite des $\text{[math]}$ est plus importante que la convergence uniforme des $\text{[math]}$ .

Pour le contre-exemple, il s'agit, graphiquement, d'une suite d'hyperboles, courbes lisses sans point anguleux, qui convergent vers leurs asymptotes communes, d'où apparition brutale d'un point anguleux à la limite, et perte de la dérivabilité.

invite769a1844 · 16/03/2008, 23h36

Bon j'ai retrouvé le chaînon manquant dans mon cours sur les séries (bien qu'il ne soit pas question de séries), je vais pouvoir finir tout seul, merci en tout cas pour votre aide,
j'aurai encore sûrement d'autres questions sur ces applications linéaires continues, je poursuivrai sur ce fil à l'occasion.

invite769a1844 · 16/03/2008, 23h54

Envoyé par God's Breath

Ce qui résulte d'un théorème de dérivation terme à terme d'une suite ; tu comprendras peut-être pourquoi la convergence uniforme de la suite des $\text{[math]}$ est plus importante que la convergence uniforme des $\text{[math]}$ .

Pour le contre-exemple, il s'agit, graphiquement, d'une suite d'hyperboles, courbes lisses sans point anguleux, qui convergent vers leurs asymptotes communes, d'où apparition brutale d'un point anguleux à la limite, et perte de la dérivabilité.

ok dans cette convergence uniforme, on prend en compte que f n'oscille pas trop.

Une hyperbole par celle d'équation xy=1, je ne vois pas vraiment ce que c'est.
Sur wiki, ils disent que c'est une courbe d'équation $\text{[math]}$ , mais dans cette suite de fonctions les $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ce sont quoi?

invite57a1e779 · 17/03/2008, 00h15

Envoyé par rhomuald

ok dans cette convergence uniforme, on prend en compte que f n'oscille pas trop.

Une hyperbole par celle d'équation xy=1, je ne vois pas vraiment ce que c'est.
Sur wiki, ils disent que c'est une courbe d'équation $\text{[math]}$ , mais dans cette suite de fonctions les $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ce sont quoi?

Le graphe de la fonction proposé admet pour équation $\text{[math]}$ , c'est une partie de la courbe d'équation $\text{[math]}$ que tu peux ramener à la forme dont tu disposes en posant:
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ (ce qui revient à un changement de repère), ainsi que $\text{[math]}$ .

invite769a1844 · 17/03/2008, 00h24

Envoyé par God's Breath

Le graphe de la fonction proposé admet pour équation $\text{[math]}$ , c'est une partie de la courbe d'équation $\text{[math]}$ que tu peux ramener à la forme dont tu disposes en posant:
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ (ce qui revient à un changement de repère), ainsi que $\text{[math]}$ .

Je vois, merci God's Breath.

invite769a1844 · 17/03/2008, 01h16

Envoyé par rhomuald

Par $\text{[math]}$ , je désigne l'ensemble des fonctions numériques définies sur [0,1] qui ont une dérivée continue.

L'auteur dit que non, et fait aussi la remarque que toute application linéaire définie sur un Banach dans un evn est nécessairement continue (d'ailleurs je ne vois pas d'où sort cette propriété

).

Et il montre aussi que l'application linéaire $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ n'est pas continue.

Edit: pour la propriété, je viens de trouver un exo pour la montrer, ça n'a pas l'air de la tarte

J'avais un peu vite lu, je rectifie:

L'auteur dit que toute application linéaire définie sur un Banach, qui possède un certain degré de régularité, dans un evn est nécessairement continue.

Il dit ensuite que l'on peut, en utilisant l'axiome du choix, définir des formes linéaires non continues sur tout espaces de Banach de dimension infinie.

En résumé on peut s'attendre à ce que toute application linéaire d'un banach dans un evn construite par les procédés courants de l'Analyse, soit continue.

invite2c3ff3cc · 17/03/2008, 18h47

Envoyé par God's Breath

$\text{[math]}$

Ou plus anecdotique : $\text{[math]}$

invite57a1e779 · 17/03/2008, 20h29

Et les deux normes sont équivalentes...

invite769a1844 · 20/03/2008, 01h06

On considère l'application linéaire qui à tout $\text{[math]}$ associe $\text{[math]}$ la primitive de $\text{[math]}$ qui s'annule au point 0. Elle est injective et de norme 1, donc continue, mais je ne vois pas pourquoi ce n'est pas un monomorphisme.

Je pense qu'il faut montrer qu'il n'existe pas de constante $\text{[math]}$ telle que pour tout $\text{[math]}$ .

invite769a1844 · 20/03/2008, 01h16

Envoyé par rhomuald

On considère l'application linéaire qui à tout $\text{[math]}$ associe $\text{[math]}$ la primitive de $\text{[math]}$ qui s'annule au point 0. Elle est injective et de norme 1, donc continue, mais je ne vois pas pourquoi ce n'est pas un monomorphisme.

Je pense qu'il faut montrer qu'il n'existe pas de constante $\text{[math]}$ telle que pour tout $\text{[math]}$ .

Bon je crois que non en fait,

l'image par cette application est $\text{[math]}$ , et l'application inverse est $\text{[math]}$ qui n'est pas continue.

Contre-exemple: $\text{[math]}$ qui tend vers l'application nulle tandis que $\text{[math]}$ ne tend pas vers l'application nulle.

invite769a1844 · 20/03/2008, 01h56

Soit $\text{[math]}$ un ouvert d'un espace de Banach $\text{[math]}$ , et soit $\text{[math]}$ une application de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , lipschitzienne de rapport $\text{[math]}$ .

Alors

1) l'image de $\text{[math]}$ par l'application $\text{[math]}$ est ouverte dans $\text{[math]}$ .

2) plus précisément, l'image par $\text{[math]}$ de toute boule fermée $\text{[math]}$ contient la boule fermée $\text{[math]}$ .

Pourquoi 2) entraîne 1) ?

invite57a1e779 · 20/03/2008, 09h34

Envoyé par rhomuald

1) l'image de $\text{[math]}$ par l'application $\text{[math]}$ est ouverte dans $\text{[math]}$ .

2) plus précisément, l'image par $\text{[math]}$ de toute boule fermée $\text{[math]}$ contient la boule fermée $\text{[math]}$ .

Pourquoi 2) entraîne 1) ?

Peut-être bien parce qu'une boule fermée de rayon non nul est un voisinage de son centre...

invite769a1844 · 20/03/2008, 14h10

Envoyé par God's Breath

Peut-être bien parce qu'une boule fermée de rayon non nul est un voisinage de son centre...

ah oui d'accord, merci.

invite769a1844 · 20/03/2008, 15h13

Soit $\text{[math]}$ le sous-espace vectoriel de $\text{[math]}$ constitué par les restrictions à $\text{[math]}$ des polynômes réels; soit $\text{[math]}$ l'application de $\text{[math]}$ dans lui-même qui, à tout polynôme $\text{[math]}$ associe le polynôme $\text{[math]}$ .

1) Pourquoi $\text{[math]}$ ?

2) $\text{[math]}$ serait non complet, je sais déjà par Stone-Weierstrass il me semble, que $\text{[math]}$ est dense dans $\text{[math]}$ , et il serait distinct de $\text{[math]}$ , ça c'est beaucoup moins clair, je pensais par exemple que la restriction de $\text{[math]}$ n'est pas un polynôme, mais je ne vois pas comment le justifier, pourquoi on aurait pas un polynôme qui coïncide avec l'exponentielle sur $\text{[math]}$ ?

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