Algèbre linéaire

[inviteb4d8c3b4]

Bonjour à tous

j'ai chopé ce devoir d'algèbre linéaire p.1 et p.2 de l'an dernier provenant des Mines, pour m'entrainer à mes partiel mais j'ai pas trouvé de correction. Pourriez-vous m'aider à la réaliser, il a l'air de couvrir ce que j'ai bossé. Voici les deux pages jointes...

Pour la première question de l'exo 1 p.1, je pense qu'il faut démontrer qu'en multipliant par un scalaire, la fonction trace reste une addition d'élément diagonaux. Je démarre bien ou pas du tout ?

Merci par avance à tous !
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[invitec053041c]

Salut.

Ben c'est pas que ça linéaire..

Faut que pour A,B matrices quelconques, et m un scalaire, on a bien tr(A+mB)=tr(A)+m.tr(B).

[invite35452583]

Pour la question 1, il n'y aucune "astuce" cherchée. Tu considères A et B deux matrices 2x2 quelconques (tu donnes des noms aux éléments de la matrice) puis tu calcules d'une part tr(A+mB) d'autre part Tr(A)+mTr(B). Puis tu caclules AB, BA, Tr(AB) et Tr(BA)...
Un peu "bourrin" mais comme l'énoncé limite (volontairement) aux matrices 2x2 ce n'est pas très lourd.

Pour la question 2, il suffit de vérifier axiome après axiome que c'est un produit scalaire. Pour ce faire, tous les résultats utiles sont dans la 1ère question.

Pour la question 3) le i) est un simple calcul, le ii) sont plusieurs calculs simples , la forme des vecteurs est bien adaptée pour répondre à la question iii).

[inviteb4d8c3b4]

Pour le 3 (ii), j'ai juste posé:

Et donc forcément

Ensuite, pour le (iii), j'ai dit que les seules matrices symétriques sont E1, E2, E3. Ces 3 matrices sont libres et forment donc une base de S2.

Ce serait bon ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Bonsoir.

Pour le 3 (ii), j'ai juste posé:

Et donc forcément

???