Algèbre linéaire

invite080957f4 · 26/01/2008, 19h14

Bonjour tout le monde !
J'ai un petit devoir libre portant sur le théorème du rang, et j'ai un problème sur la deuxième question

u est une application linéaire de Rⁿ dans R^p
e=(e₁,e₂,...,e_n) base canonique de Rⁿ
et e'=(e'₁,e'₂,...,e'_p) base canonique de R^p
et (u(e₁),u(e₂),...,u(e_k) ) de Im(u)

voila la question: quelles relations existe entre l'entier k,n et p?
montrer que que si p est strictement inferieur à n, alors la dimension du moyau deu est supérieur ou égale à 1

après il faut démontrer le théorème du rang...
mais je m'en débrouille...

c'est manifeste qu'il y ai des relations mais j'arrive pas à commencer...
si vous voulez bien me lancer sur la piste et m'expliquer un peu comment raisonner pour les dimensions des noyaux et des images...
je suis pas très doué en maths...

enfin merci dans tous les cas !!!

invite39968a5c · 26/01/2008, 19h27

D'après les infos que tu as, quelle est la dimension de l'espace vectoriel de départ ( $\text{[math]}$ ), quel est le rang de u ( revois la définition du rang en cas de doute ), et qu'affirme alors le théorème du rang ?

**God's Breath** · 26/01/2008, 19h27

Envoyé par May-ju

Bonjour tout le monde !
J'ai un petit devoir libre portant sur le théorème du rang, et j'ai un problème sur la deuxième question

u est une application linéaire de Rⁿ dans R^p
e=(e₁,e₂,...,e_n) base canonique de Rⁿ
et e'=(e'₁,e'₂,...,e'_p) base canonique de R^p
et (u(e₁),u(e₂),...,u(e_k) ) de Im(u)

voila la question: quelles relations existe entre l'entier k,n et p?
montrer que que si p est strictement inferieur à n, alors la dimension du moyau deu est supérieur ou égale à 1

après il faut démontrer le théorème du rang...
mais je m'en débrouille...

c'est manifeste qu'il y ai des relations mais j'arrive pas à commencer...
si vous voulez bien me lancer sur la piste et m'expliquer un peu comment raisonner pour les dimensions des noyaux et des images...
je suis pas très doué en maths...

enfin merci dans tous les cas !!!

Tu pars de la base $\text{[math]}$ pour obtenir la base $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ est un sous-espace de $\text{[math]}$ , et la comparaison des dimensions fournit $\text{[math]}$

invite080957f4 · 27/01/2008, 08h46

Merci bien !
Je m'attendais en fait à des trucs bein plus compliquer...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite080957f4 · 27/01/2008, 08h56

Si p<n alors quand on passe de Rⁿ dans R^p on perd des dimensions dans le noyau donc la dimension du noyau est >= à 1.
Mais comment je peux expliquer ca mathématiquement ?

Algèbre linéaire