dérivée de (-1)^n

[invite0fadfa80]

Salut ,
je me demande quelle est la dérivée de (-1)^n ?
J'ai pensé à dire que (U^n)'= n* u^n-1 * u', on aurait donc une dérivée nulle car (1)'=0
Puis j'ai aussi pensée à la forme exponentielle (-1)^n =exp(n*ln(-1))
Oups ! ln(-1) pose un problème...
Quelle est donc la derivée de (-1)^n ?
Merci
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[invite769a1844]

Salut ,
je me demande quelle est la dérivée de (-1)^n ?
J'ai pensé à dire que (U^n)'= n* u^n-1 * u', on aurait donc une dérivée nulle car (1)'=0
Puis j'ai aussi pensée à la forme exponentielle (-1)^n =exp(n*ln(-1))
Oups ! ln(-1) pose un problème...
Quelle est donc la derivée de (-1)^n ?
Merci

je ne savais pas que l'on pouvait dériver des suites d'entiers.

ln(-1) ça n'existe pas, on définit seulement pour .

[God's Breath]

Salut ,
je me demande quelle est la dérivée de (-1)^n ?
J'ai pensé à dire que (U^n)'= n* u^n-1 * u', on aurait donc une dérivée nulle car (1)'=0
Puis j'ai aussi pensée à la forme exponentielle (-1)^n =exp(n*ln(-1))
Oups ! ln(-1) pose un problème...
Quelle est donc la derivée de (-1)^n ?
Merci

Il n'y a pas de dérivée, parce que la fonction n'est définie sur aucun intervalle de .
Dans un quotient de la forme , doit être entier et non nul, et ne peux par conséquent pas tendre vers 0.

[Gwyddon]

ln(-1) ça n'existe pas, on définit seulement pour .

Héhé, le fait que ln(-1) n'existe pas n'a rien d'évident

En effet on peut étendre le logarithme à l'ensemble des nombres complexes. Des constructions pas trop compliquées montrent que cette extension peut être continue et conserver toutes les propriétés du logarithme sur IR (notamment le fait que c'est un morphisme de groupe entre et ) sur .

Mais on peut aussi définir un logarithme des nombres négatifs, le souci c'est qu'il y a plusieurs constructions car la détermination n'est pas univoque (du fait de la périodicité de la fonction réelle )

Bref tout ça n'est pas super simple, mais ça existe

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite769a1844]

Héhé, le fait que ln(-1) n'existe pas n'a rien d'évident

En effet on peut étendre le logarithme à l'ensemble des nombres complexes. Des constructions pas trop compliquées montrent que cette extension peut être continue et conserver toutes les propriétés du logarithme sur IR (notamment le fait que c'est un morphisme de groupe entre et ) sur .

Mais on peut aussi définir un logarithme des nombres négatifs, le souci c'est qu'il y a plusieurs constructions car la détermination n'est pas univoque (du fait de la périodicité de la fonction réelle )

Bref tout ça n'est pas super simple, mais ça existe

Intéressant, je ne savais pas, on m'avait donné cette définition seulement pour a>0.

[invite0fadfa80]

je me disais bien qu'il y'avait un problème la dessous...

je ne savais pas que l'on pouvait dériver des suites d'entiers.

et (-1)^x ?
pas de dérivée non plus ?

[invite769a1844]

je me disais bien qu'il y'avait un problème la dessous...



et (-1)^x ?
pas de dérivée non plus ?

Pour moi c'est pas défini, mais si tu as vu les extensions du log dont parlait gwyddon, je ne saurais pas te dire.

[God's Breath]

Pour moi c'est pas défini, mais si tu as vu les extensions du log dont parlait gwyddon, je ne saurais pas te dire.

Comme l'a dit Gwyddon, ça pose des problèmes.

Si je pars de , je m'attends à obtenir et la dérivée .

Si, comme on l'imagine est réel, sa dérivée est imaginaire pure, ce qui ne se peut. Donc n'est pas réel, ce qui semble finalement naturel : doit satisfaire , mais comment savoir si ou ?

Il y a des choix à faire, qui ne sont pas toujours satisfaisants en toute circonstance.

[invite4ef352d8]

note qu'il y a le principale probleme qui reste, c'est que tu peut par exemple aussi considére que -1=exp(-i*pi)
et donc que (-1)^x=exp(-ixPi), et on trouve maintenant -i.Pi.(-1)^x comme dérivé, soit une valeur différente.

[God's Breath]

note qu'il y a le principale probleme qui reste, c'est que tu peut par exemple aussi considére que -1=exp(-i*pi)
et donc que (-1)^x=exp(-ixPi), et on trouve maintenant -i.Pi.(-1)^x comme dérivé, soit une valeur différente.

Y a plus qu'à se placer sur la bonne surface de Riemann.

[invite4ef352d8]

En l'occurence, y en a pas vraiment....

[God's Breath]

En l'occurence, y en a pas vraiment....

En recollant les déterminations de , on va effectivement obtenir une horreur à l'origine, mais ça vaut le coup de l'essayer.