espace vectoriel

[invitea210495a]

J'ai une question:

C2(indice en bas) [X] : ensemble des polynômes de degré au plus 2 avec des coeffs complexes.

Je cherche la dimension du R-espace vectoriel C2(indice en bas) [X] .



D'abord, c'est quoi le R-espace vectoriel?
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[invitebb921944]

Un R espace vectoriel, c'est un espace vectoriel sur le corps R. Si tu ne connais pas la définition, tu devrais la lire.
Pour l'exemple, C est un R-espace vectoriel de dimension 2 mais un C-espace vectoriel de dimension 1.

[invitea210495a]

Donc la dimension c'est tout simplement 2 si j'ai compris.

Autre question qui ne fait pas parti de l'exercice.

C2(indice en bas) [X] doit bien avoir une base, non?

[invitec053041c]

Donc la dimension c'est tout simplement 2 si j'ai compris.

Autre question qui ne fait pas parti de l'exercice.

C2(indice en bas) [X] doit bien avoir une base, non?

Ben non justement..

Tu as C2[X] qui est de dimension 3 en tant que C-espace vectoriel, donc de dimension ?? en tant que IR espace vectoriel.(inspire toi de ce qui t'a été dit avant).

Tu peux aussi essayer de fabriquer une base de C2[X] dans les 2 cas (IR-ev ou C-ev).

EDIT: bah c'est ta 2eme question . C2[X] a 2 bases différentes, selon que tu parles en tant qu'ev sur IR ou C.

Par exemple, une base de C comme C-ev est (1). Et une base de C comme IR-ev est (1,i).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea210495a]

la dimension c'est 3 alors

pour sa base, je vois pas

[invitea210495a]

aidez moi svp!

[Dydo]

Ben pour connaître la dimension de j'imagine que tu as déjà du voir une base quelque part en tant que non ?

Je pense que ça peut aider de partie de cette base, et de se servir de ce Ledescat a dit précédemment concernant la différence entre et quant aux dimensions d'un

[invitebe0cd90e]

Non, la dimension de R2[X] en tant que R-espace vectoriel est 3, la dimension de C2[X] en tant que C-espace vectorel est 3. La dimension de C en tant que R-espace vectoriel est 2...

En gros, la dimension depend du corps (R ou C dans ton cas) que tu consideres.

Donc pour voir C2[X] comme un R espace vectoriel il faut travailler un peu, meme si tu devrais pouvoir "intuiter" la reponse... Le plus simple est effectivement d'en trouver une base. Commence par trouver une base en tant que C-espace vectoriel, et regarde ce qui va foirer quand tu vas passer a R. Commence par ecrire a quoi ressemble un polynome de degré... Est ce que ca ne serait pas une combinaison lineaire de plusieurs trucs ??

En 2 mots, essaie d'ecrire un polynome de C2[X] avec des coefficients complexes, puis essaie de le reecrire juste avec des coeefficients reels ! il sufit de mettre des i aux bons endroits...

[invitebb921944]

Tu as l'air de pédaler un peu dans la semoule alors je vais détailler un peu !
Une base d'un espace vectoriel, c'est une famille de vecteurs de cet espace, libre et génératrice.
Ca veut dire quoi ? Ca veut dire que n'importe quel vecteur de mon espace vectoriel peut s'exprimer comme une combinaison linéaire (unique) des vecteurs de cette base, chacun étant affecté d'un coefficient à valeur dans le corps sur lequel est défini l'espace vectoriel en question.
Maintenant pour dire que E est un K-espace vectoriel, il faut vérifier au préalable que si x est un vecteur de E (ou un élément de E si tu préfères) et a est un élément de corps K, alors ax doit être un vecteur (élément) de E.
Ainsi on a 4 exemples relativement simples :
R peut-être un R-espace vectoriel. En effet, le produit de deux réels est un réel.
C peut-être un R-espace vectoriel, en effet, le produit d'un réel et d'un complexe est un complexe.
C peut-être un C-espace vectoriel, en effet le produit de deux complexes est un complexe.

PAR CONTRE, R ne peut pas être un C-espace vectoriel.
En effet, si je prends un élément a du corps qui est C et un élément x de R, j'ai ax qui n'appartient pas à R.

[invitea210495a]

Pour la dimension, c'est bon.

Mais la base, j'y arrive pas.

[invitebe0cd90e]

Pour la dimension, c'est bon.

Mais la base, j'y arrive pas.

Si tu as trouvé 6 à priori c'est bon, mais il faut le justifier...

Pour la base, il suffit de l'ecrire... Un polynome du second degré a coeeficients complexes est de la forme ou a,b,c sont des complexes... Jusque la rien de difficile.. Est ce que du coup une base ne te saute pas aux yeux ? tout polynome s'ecrit de maniere unique comme a fois un truc plus b fois un autre truc plus c fois un 3e truc ca devrait te rappeler quelque chose Bref, une base de C2[X] en tant que C-espace vectoriel c'est

Maintenant il faut trouver sa base en tant que R-espace vectoriel... Ecris par exemple a=x+iy, b=u+iv, etc... et essaie d'ecrire notre polynome juste avec des coefficients reels, des i, des X et des X^2...

[Dydo]

Pour la dimension, c'est bon.

Mais la base, j'y arrive pas.

Par simple curiosité, comment as-tu trouvé la dimension de :þ ?