Cube de Hilbert

[invite769a1844]

Bonsoir, je bloque sur cet exo:

On veut montrer que le cube de Hilbert



est compact dans .

a) Montrer que pour tout réel il existe un entier et des éléments de tels que .

b) Montrer que la condition de (a) assure la compacité.

Je bloque pour la (a). Pour la (b), je suppose qu'il suffit que je montre que c'est fermé étant donné (a) et le fait que est complet.

Merci pour vos indications.
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[invite57a1e779]

On veut montrer que le cube de Hilbert

est compact dans .

a) Montrer que pour tout réel il existe un entier et des éléments de tels que .

Comme la série converge, il existe tel que , donc, pour tout et tout de , on a :
.
Il faut alors construire les d'après leurs valeurs pour de telles sorte que les boules, dans , de centre les et de rayon , recouvrent la boule de centre et de rayon , où est tel que .

[invite769a1844]

ok, je vois mieux la situation, merci.

[invite769a1844]

je plante à une question 'c)' : Donner la distance d'un point au cube de Hilbert .

Donc on a

.

Pour , c'est clair que .

Ensuite, pour , en posant pour chaque entier , ,

j'ai montré que est un convexe fermé non vide.

Je pensais poser , ainsi est une suite décroissante de convexes fermés non vides.

Ensuite je sais que (un exo d'avant), mais je ne vois pas ce que donne ?

Merci pour votre aide.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Fais un dessin pour n=1, un pour n=2 et un pour n=3, tu devrais vite voir comment ça se "passe".
A minimiser pour les dans D_n.
Or, peut-on minimiser tous les (x_i-y_i)² en même temps ?

[invite769a1844]

Fais un dessin pour n=1, un pour n=2 et un pour n=3, tu devrais vite voir comment ça se "passe".
A minimiser pour les dans D_n.
Or, peut-on minimiser tous les (x_i-y_i)² en même temps ?

merci homotopie, je regarde ça

_{Félicitations pour ta promotion}