Interprétation de la dérivée d'une fonction complexe ?

[justine&coria]

Bonjour à tous,

J'ai un problème de "compréhension" avec la dérivée des fonctions complexes. En effet, que représente-elle ?

J'ai évidemment compris la définition, et le prof nous a expliqué que c'est un puissant outil pour la suite (je veux bien le croire).
Et pourtant, il a passé sous silence une question très importante : celle de son interprétation, de ce qu'elle représente !! Si elle ne représente rien du tout (et j'ai bien l'impression que c'est le cas), il aurait bien pu faire une petite parenthèse dessus, mais en même temps, je vois que tous les livres et les sites web éludent la question.

En effet, la dérivée d'une fonction réelle, c'est la pente de la tangente, la différentielle d'une fonction de lRⁿ -> lRⁿ représente l'approximation linéaire de la fonction au voisinage du point.
Mais, les fonctions complexes ne peuvent pas (complètement) se voir comme fonctions de lR² dans lR², parce que le corps C est muni d'une multiplication contrairement à lR².
Et lorsqu'on calcule la dérivée complexe, on voit justement bien cette différence.

D'où ma question : que représente la dérivée complexe ? est-ce qu'elle a une signification ?

Personnellement, je pense que les équations de Cauchy-Riemann pourraient permettre de mieux appréhender la signification de la dérivée (de voir par exemple géométriquement à quoi elle correspond), mais pour l'instant, je bloque, je trouve pas.

Donc, si quelqu'un pouvait m'aider à mieux voir, je serais ravi. Ou alors, est-ce qu'il n'y a rien à comprendre dans la dérivée, et qu'il faut juste l'utiliser comme un outil dénué de sens profond ?

Merci d'avance.
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[GuYem]

Salut.

Il n'y a pas vraiment d'interprétation géométrique (à mon sens) de la dérivée complexe.
Cependant ta prof doit t'avoir dit, et cela est trés important, que la différentielle d'une application holomorphe (disons de C dans C, restons en dimension 1) doit être C-linéaire. C'est là la clé de l'holomorphie.
Cele veut dire, en dimension 1 toujours, que la différentielle est la multiplication par un certain nombre complexe. C'est ce que traduisent (toujours en dimension 1) les équations de Cauchy-Riemann.
Pour t'en convaincre, regarde la matrice jacobienne de f considérée comme application de R^2 dans R^2 d'une part et la matrice de l'application multiplication par d'autre part.
(bien sur P est la partie réelle de f et Q sa partie imaginaire)
Si tu supposes f holomorphe alors ces deux les deux mêmes matrices !

[invite0ca17a7c]

salut
il y a une interpretation géometrique vraiment naturel a cette notion .c'est la notion de conformite .
la premier chose c'est que si f est holomorphe alors elle est differentiable ce qui veux dire qu'au voisinage d'un point f se comporte comme une application linéaire de IR² dans IR² .
la condition d'holomorphisme impose que la differentielle de f soit C lineaire ce qui se traduit par le fait que df(z).h=f'(z)*h c'est a dire que la differentielle est une similitude c'est a dire que ca conserve les angles.
maintenant une application imagine que l'on a deux courbes C1 trace dans C qui se coupe pour t=0 avec les tangentes en t=0 qui soit orthogonal ,ben si f'(z)=/=0 on a les tangente des images des deux courbe par f au temps t=0 sont aussi orthogonal .

c'est pas super geniale ce que j'ai ecrit mais si tu veux des exemple plus precis ou d'autre info fait le moi savoir...
par exemple tu peux regarder en un point ou f'(z0)=0 les angle ne sont plus egaux mais il sont multiplier par un entiers ,qui est exactement l'ordre du zero de f(z)-f(z0)
et on aboutit au theoreme de l'application ouverte....

[invite0ca17a7c]

le but est de mieux comprendre les nombres reels et les fonctions .par exemple le théoréme des residus permet de calculer une multitude d'integrale.ca permet de montrer le theoreme fondamentale de l'algebre de maniere tres elementaires.
en fait je vais te donner deux arguments qui montre que l'introduction des complexe est completement justifier .
le premier : je prend la fonction cosinus qui est definit sur IR et Coo sur IR ,bah il exsite une unique fonction derivable au sens complexe sur C qui coincide avec cos sur l'axe des reels ,ce qui veux dire que les fonctions complexes ne sont pas des ovnis sortie de nul part .psycologiquement c'est rassurant

un deuxieme exemple :il est tire du Chabat
tu prends la fonction 1/(1+x²) elle est develloppable en serie entiere et le rayon de convergence est 1 .
le probleme c'est que 1 n'est pas un valeur particuliere de la fonction 1/(1+x²) de sorte que l'on est en droit de se demander pourquoi le rayon est 1 c'est bizare.
la reponse est dans C sur le disque de rayon 1 il y un un pôle de 1/(1+x²) qui est i (et -i) et la on comprend tout de suite pourquoi le rayon ne peux pas etre plus grand que 1.
tu vois tu perds du visuel mais tu gagnes en comprehension ....

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Une réponse visuelle permettant de comprendre la différence entre dériver une fonction de IR² dans IR² et dériver une fonction de C dans C.
On prend dans le plan antécédent un petit cercle centré en (x,y). Si f(x,y)=(u(x,y),v(x,y)) est dérivable, ce cercle est envoyé sur une ellipse.
Dans le cas général, l'ellipse n'est pas un cercle.
Pour chaque direction, il existe un coefficient de contraction ou de dilation qui varie d'un minimum correspondant au petit axe de l'ellipse jusqu'à un maximum qui correspond au grand axe de l'ellipse.
Il existe deux directions principales dans le plan (x,y) (ce sont les antécédents des axes de symétrie de l'ellipse). Elles sont perpendiculaires, mais ce sont les seuls perpendiculaires qui sont envoyés sur deux perpendiculaires. Les angles du côté du grand axe ont tendance à être contractés, et dilatés du côté du petit axe.
De plus, l'ellipse peut être inversé (la matrice jacobienne a un déterminant négatif négatif).
De manière générale ainsi la jacobienne est la composée
d'une rotation amenant les directions principales sur les axes de l'ellipse (cercle initial ->cercle1)
d'une homothétie amenant le cercle à passer par les sommets du grand axe (cercle1-> cercle2)
d'une affinité d'axe le grand axe de l'ellipse
amenant le cercle 2 sur l'ellipse en tant qu'ensemble)
+une éventuelle symétrie (si le sens de rotation a été inversé)

La dérivation par rapport aux deux réels x et y n'est une dérivation par rapport au complexe z si et seulement si l'ellipse est un cercle préservant le sens de rotation.
Les équations de Cauchy-scwartz peuvent être interprétés ainsi en constatant qu'elle impose (comme pliofree l'a déjà signalé) à la matrice jacobienne d'être une similitude directe. (les indirectes sont les fonctions dérivables par rapport au conjugué de z)
La "pente réelle" est en fait le coefficient de l'homothétie et de la similitude (pratique pour la compréhension elle ne dépend pas de la direction, on ne peut pas rêver mieux) (ceci définit une sorte de dérivation par rapport au module)
Toute direction est tourné dans le même sens (itou), bref elle est une représentation conforme. (ceci définit une sorte de dérivation par rapport à l'argument)
Il n'y a plus à s'étonner que cette dérivation va amener des résultats puissants et dont le langage des nombres complexes est le plus naturel.

[justine&coria]

Merci à tous. Je vais lire ça plus au calme ce soir. En tout cas, ça a l'air d'être exactement ce que je demande (et ça a l'air intéressant en plus).
Je vous dirai plus tard, s'il y a des choses que je comprends pas.

[Quinto]

Bein la représentation c'est la même que pour n'importe quelle fonction.
Si tu as f dérivable, alors tu approximes linéairement f au voisinage de z, par f '. La différence est que tu te déplaces linéairement selon la droite complexe et non suivant la droite réelle.
Les fonctions holomorphes sont extrêmement importantes en analyse complexe et tu verras pourquoi. Il vaut mieux que tu vois ca avec le développement du cours, ca te montrera à quel point elles sont importantes...

[invite17587bda]

bonjour,
et qu'en est il pour l’interprétation géométrique de l'intégrale curviligne d'une fonction complexe sur une courbe. c'est cette notion en fait qui m'a cassé la tête. j’espère bien qu'on lance une discussion pareille sur ce sujet. merci.