Algèbre matriciel

[inviteb64a2f8e]

Bonjour à tous !

Voilà je révise pour mon futur DS et je suis tombé sur un exercice sans corrigé et qui me pose quelques questions. J'ai déjà quelques pistes mais j'aimerais savoir si vous pouviez me donner quelques pistes. Voilà l'énoncé :

Soit E un espace vectoriel sur de dimension 3 de base .
On considère l'endomorphisme de E défini par

Question 1 :

Déterminer image et noyau de en explicitant une base de chacun de ces ensembles

=> J'ai trouvé et donc une base est
Et je trouve mais je n'arrive pas à réduire cette base (je sais qu'elle doit être de dimension 2, or là elle est de dimension 3 :S)


Question 2 :

Montrer que Imf et kerf sont supplémentaires dans E

=> Avec le TH du rang on a les dimensions égales mais je n'arrive pas à démontrer

Question 3 :

Déterminer les valeurs propres de A et les sous espaces propres associés.

=> C'est bon je trouve -3,0,5 avec le pivot de Gauss

Question 4 :

En déduire vecteurs non nuls de E tels que

=> Je comprends pas trop cette question. On doit utiliser les sous espaces propres calculés juste avant non ?

Question 5 :

Vérifier que la famille est une base de E. On pose .
Ecrire . On notera D cette matrice.

=> J'ai trouvé

Question 6 :

Justifier que P est inversible et calculer . Vérifier que

=> J'ai fait une inversion de système

Question 7 :

En déduire le calcul de pour

=> Ca se fait bien avec la question suivante étant donné que D est diagonale et donc on peut facilement passer à

Question 8 :

Soit où sont des réels donnés. Exprimer en fonction de

=> Là j'ai pas trouvé du tout :S


Voilà, comme vous pouvez le constater j'ai quelques problèmes avec cet exercice de base. Je vous serais donc reconnaissant de me donner quelques pistes de méthode pour que je comprenne là où je me suis trompé et/ou là ou je n'ai pas réussi.

Merci beaucoup à tous !

ZimbAbwé.
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[invitec317278e]

1)Vérifie tes calculs pour Ker et Im, car l'expression que tu as trouvé pour Im étant échelonnée, tu ne pourras pas la réduire.


4)il suffit de résoudre l'équation f(x)=3x, etc...avec x un vecteur de 3 composantes.

8)trouve un rapport entre cette question et la question précédente.

[invitea41c27c1]

Q1: C'est pas un -1 au lieu d'un 1 en haut à droite dans la matrice M ? Sinon que crois que tu t'es trompé sur Im f (modulo le fait que tu nous ais donner la bonne matrice).

Q2: il faut la Q1.

Q4: Oui c'est pareil que la question 3.

Q8:vu que tu connais M^5, tu connais aussi f^5...

[inviteb64a2f8e]

Tout d'abord, merci beaucoup à tous les deux de m'avoir répondu !

¤ Donc pour la question 1), vous avez tous les deux raison je me suis trompé dans ma matrice de départ quand j'ai recopié.

Je trouve donc après rectification :


et

C'est bon ?

¤ Pour la question 2, on a donc les dimensions égales avec le TH du rang. Mais j'ai l'impression qu'en fait il serait plus facile de montrer que est encore une base de E, plutôt que de montrer que

¤ Pour la question 8, voilà ce que je crois avoir compris.

Si on pose par exemple

Alors , et

Et donc d'après la linéarité de f,

Ca m'étonnerait que ce soit, mais c'est à peu près comme ça que je l'ai compris.

[A voir en vidéo sur Futura]