matrice de SU(1,1)

invite769a1844 · 05/05/2009, 18h46

Bonsoir,

on considère le sous-groupe de $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ , où $\text{[math]}$ .

je dois montrer que les matrices de $\text{[math]}$ sont de la forme $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ .

Si je prends une matrice $\text{[math]}$ , de la relation $\text{[math]}$ et du fait que $\text{[math]}$ ,

j'en déduis que

$\text{[math]}$ ,

mais là je en vois pas comment aller plus loin.
Merci pour votre aide.

invitea2b84f8d · 06/05/2009, 08h30

invitea41c27c1 · 06/05/2009, 09h15

Envoyé par atrahasis

$\text{[math]}$

Usuellement $\text{[math]}$ c'est ça, mais dans son exercice je ne crois pas qu'il a affaire à cette matrice.

Sinon pour Rhomuald: multiplie ta deuxième égalité par $\text{[math]}$ et tu devrais t'en sortir.

invite769a1844 · 06/05/2009, 10h22

ah oui bien vu.
Merci Garnet.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite769a1844 · 06/05/2009, 12h03

Je dois maintenant montrer que pour $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ .

Si $\text{[math]}$ c'est ok.
Si $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est holomorphe sur le disque unité, j'ai pensé utiliser le principe du maximum
mais avec j'ai seulement réussi à montrer que $\text{[math]}$ , mais après pour voir si $\text{[math]}$ , je sèche.

**NicoEnac** · 06/05/2009, 12h17

Je dirais que cette quantité peut être supérieure à 1. De plus, comment obtiens-tu la majoration du dénominateur dans |M.z| < (|u|+|v|)/(|u|-|v|) ? Cette inégalité me semble fausse car lorsque |v| > |u| on obtient que |M.z| < nombre négatif or un module est positif...

invite769a1844 · 06/05/2009, 12h45

Envoyé par NicoEnac

Je dirais que cette quantité peut être supérieure à 1. De plus, comment obtiens-tu la majoration du dénominateur dans |M.z| < (|u|+|v|)/(|u|-|v|) ? Cette inégalité me semble fausse car lorsque |v| > |u| on obtient que |M.z| < nombre négatif or un module est positif...

mais on sait que $\text{[math]}$ vu que $\text{[math]}$ .

invite769a1844 · 06/05/2009, 12h53

Pour la majoration, je sais par le principe du maximum qu'il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ ,

donc

$\text{[math]}$

**NicoEnac** · 06/05/2009, 13h34

Sous condition de prouver que |M.z| admette un maximum, je comprends qu'il existe un z0 tel que |M.z| < |M.z0| (principe du maximum comme tu dis) mais je ne vois pas pourquoi |z0| = 1 implique que |M.z| < |M.z0|...En partant du principe que |z|<|z0| donc |M.z| < |M.z0| ? Le "." ici n'indique pas une multiplication donc ce n'est pas immédiat pour moi.

invite769a1844 · 06/05/2009, 15h36

le disque unité fermé est compact, donc l'homographie $\text{[math]}$ atteint ses bornes en un $\text{[math]}$ sur ce disque fermé,
et elle atteint ces bornes forcément sur sa frontière (le cercle unité) et pas à l'intérieur sinon $\text{[math]}$ serait constante.

Le "." c'est parce que c'est une action de groupe, $\text{[math]}$ agit sur $\text{[math]}$ ,
et en fait ce que je veux revient à montrer que le disque unité ouvert est stable sous cette action.

**NicoEnac** · 06/05/2009, 16h44

Je crois que tu es plus calé que moi en mathématiques, c'est même évident. Je ne peux que t'apporter mon intuition qui là ne marche pas terrible !

Le problème de ton inégalité plus haut est que |u|+|v| > |u|-|v| et donc que la fraction trouvée > 1 donc elle n'est pas utile à montrer |M.z| < 1.

Sinon je suis désolé pour avoir été lourd au niveau des explications de ta part.

invite769a1844 · 06/05/2009, 18h10

non mais tu as raison, j'ai même pas fait gaffe que |u|+|v|>|u|-|v|, lol.
Bon du coup il faut trouver autre chose.

invitea41c27c1 · 06/05/2009, 21h51

Il faut juste évaluer le module:

|uz + \bar{v}|^2 = |u|^2 |z|^2 + |v|^2 + 2 Re(uzv) ...

invite769a1844 · 06/05/2009, 23h29

alors j'ai

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

je suis d'accord avec le fait que

$\text{[math]}$ ,

mais après je ne vois pas comment montrer que $\text{[math]}$ .

invitea41c27c1 · 07/05/2009, 07h48

Il y a pas de conjugué dans les parties reels (on conjugue 2 fois...) cf mon message precedent.

invite769a1844 · 07/05/2009, 09h49

je n'ai pas saisi ce qu'on conjugue deux fois afin de faire disparaître les conjugués

invitea41c27c1 · 07/05/2009, 11h31

Peux-tu m'écrire la formule pour $\text{[math]}$ quand $\text{[math]}$ et puis remplacer $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ?

invite769a1844 · 07/05/2009, 20h32

$\text{[math]}$ .

Pour $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ,

$\text{[math]}$ .

invitea41c27c1 · 07/05/2009, 20h52

Envoyé par rhomuald

$\text{[math]}$ .

Non ...

c'est $\text{[math]}$ .

invite769a1844 · 09/05/2009, 08h29

Je ne trouve pas ce résultat.

Si je les note sous leur formes algébrique $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ,
j'ai

$\text{[math]}$

donc $\text{[math]}$ .

Et

$\text{[math]}$

invitea41c27c1 · 09/05/2009, 09h42

C'est juste et c'est cohérent avec ce que j'ai écrit:

Moi j'ai écrit : |x+y|^2 =...

et toi tu écris : |x+iy|^2 =...

invite769a1844 · 09/05/2009, 12h12

Mais quel boulet!

Merci pour ta patience Garnet.

matrice de SU(1,1)

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Re : matrice de SU(1,1)

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