Matrices
Bonjour,
J'ai un petit souci avec un exercice...
Soit M une matrice nxn à coefficients réels telles que M^3=M^2
On a exibé la matrice A telle que,
M^2-(M-I_n)A=I_n (A=M+I_n).
Maintenant il faudrait que je montre que IR^n=ker(M-I_n)+ker M^2 en somme directe. Et ça je ne sait pas le faire.
Comment puis je procéder?
Merci d'avance!
On a
Donc
Autrement dit le polynôme
est annulateur de M.
Puisque X² et (X-1) sont premiers entre eux, on peut appliquer le lemme des noyaux
(Du moins si tu connais le lemme des noyaux )
hé non je ne le connais pas ce lemme. Malheureusement je dois faire autrement. Si vous avez une autre idée c'est volontier lol.
Merci d avance
Il faut montrer trois choses.
Le soucis c'est surtout pour montrer que IR^n inclue dans ker(M-I_n)+ker(M^2). Après je montrerai que l'intersection des deux ker est nulle.
Exacte, c'est la partie la plus difficile.
On peut remarquer que
Tu penses que ça peut servir ou c'est juste à garder dans un coin de la tête.
Pour montrer que
il faut montrer que tout vecteur x de
x=y+z avec y dans ker(M-I) et z dans ker (M²).
Je t'ai justement fourni cette décomposition , il reste à vérifier que
M²x est dans ker(M-I) et que (x-M²x) est dans ker (M²).
OK un grand merci !! J'ai pas penser à vérifier ^^ biz!!
Euh non pas bizz!!! C'est par habitude...
