Bonjour,
Voici ci-dessous un petit exo que je n'arrive pas à résoudre. ça serait gentil de me suggérer ce dont à quoi vous pensez.
Soit f une fonction continue, périodique et non constante sur R. Montrer alors que l'ensemble des périodes de f est de la forme {mT : m€Z} pour une unique période fondamental T>0.
Salut,
A partir du moment où la fonction est pérodique tu peux définir l'ensemble des périodes qui est alors non vide. L'ensemble des périodes stictement positives est alors non vide également (je te laisse deviner pourquoi. Comme c'est un ensemble non vide et minoré il possède une borne inférieure T. Montre que cette borne inférieure est une période et qu'elle ne peut pas être nulle sinon f serait constante. Pour terminer tu n'as plus qu'à montrer que T divise toutes les autres périodes. Pour cela tu peux utiliser (après l'avoir montré) que l'ensemble des périodes est un groupe additif.
Merci pour ta réponse.
Mais j'ai quelques questions.
1)comment je pourrais montrer que la borne inf est une période? en disant simplement qu'elle appratient à l'ensemble des périodes que j'ai définis?
2)Pourquoi la borne inf des périodes ne peut pas être nulle vu que je dois montrer qu'elle appartient à {mT:m€Z} qui contient 0?
3)il faut encore démontrer le cas pour l'ensemble des périodes négatives non?
Merciii
Re
1) il faut appliquer la définition d'une période: il faut montrer que pour tout x f(x+T)=f(x)
2)c'est la borne inférieur des périodes STRICTEMENT positives, par exemple la borne inférieur de N* n'est pas nulle puisque c'est 1 alors que 0 appartient à Z. Il faut montrer que si cette borne inférieure est nulle alors il existe des périodes strictement positives aussi petites qu'on veux et ça implique que f doit être constante.
3)Non je ne vois pas pourquoi, il faut bien sûr montrer que T divise TOUTES les périodes même les périodes négatives mais il n'y a pas forcément besoin de faire deux cas, mais bien sûr tu peux si tu trouve que c'est plus simple.
Merci bien. c'est très sympa de ta part
