Matrices

[invite59e98ef2]

Coucou, je suis en train de réviser pour mes partiels et je suis bloquée en maths.
Je ne comprends pas comment on fait pour trouver les vecteurs propres d'une matrice et aussi pour trouver U(-1).

Par exemple, il faut que je diagonalise la matrice A = 1 -1
0 -1

J'ai trouvé pour valeurs propres 1 et -1.

Pour les vecteurs propres je sais qu'il faut dresser un système de type AX=X mais après je sais pas comment on en déduit les vecteurs propres une fois le système résolu.

Etant bloquée aux vecteurs propres, je n'arrive pas à comprendre comment après on calcule U(-1).

Merci de m'éclairer sur ces deux points parce que ça serait pas top que je ne sache pas le faire pour mes partiels.
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[invitebb921944]

Bonjour.
On va chercher un vecteur propre associé à la valeur propre 1 :
On résout AX=1.X où encore (A-1.I)X=0 ou I est la matrice identité de taille 2x2.
(A-1.I)=
(0 -1)
(0 -2).

On pose X=(x,y)

(A-1.I)X=
(-y)
(-2y)
Ce vecteur vaut le vecteur nul si on a le système :
-y=0
-2y=0.
Ce qui revient à donner la valeur 0 à y et comme il n'y a pas de condition sur x, on lui donne n'importe quel valeur. Donc le vecteur
Y=
(1)
(0)
par exemple est un vecteur propre associé à la valeur propre 1.

[invite59e98ef2]

Je suis d'accord avec vous, j'ai compris comment vous avez procédé.

J'ai regardé comment mon prof a corrigé l'exercice, il met 2 vecteurs propres : (1,0) et (1,2).
D'après votre explication, j'en déduis qu'il a pris une autre valeur de x " au hasard" car on peut prendre la valeur qu'on veut.
C'est ça ?

Par contre, après il marque directement donc A est diagonalisable et

U(-1)AU=

1 0
0 1


Je comprends pas ce que cela signifie.

Pourriez-vous m'expliquer ?

Merci

[invitebb921944]

Ah bah non il a pris la même valeur pour x puisque j'avais le vecteur (1,0) et lui aussi...

Maintenant, on trouve un vecteur propre associé à la valeur propre -1. Ton professeur trouve (1,2).
Tu notes ensuite U (en général on la note P) la matrice de passage constituée de ces deux vecteurs propres :
U=
(1,1)
(0,2)
la première colonne est le premier vecteur propre, la deuxième le deuxième vecteur propre.

On calcule ensuite U^(-1) (suffit d'inverser la matrice U) et on sait maintenant que si on calcule U^(-1)*A*U, on trouve une matrice diagonale dont la diagonale contient les deux valeurs propres -1 et 1.

Alors deja tu pourrais me dire : "oui mais si on avait pris (2,0) comme premier vecteur propre au lieu de (1,0), on aurait pas trouvé la même chose". Eh bien je te réponds que si, tu n'as qu'à faire l'essai (tu peux même laisser la lettre x à la place du 1, tes x se simplifieront.
Tu peux aussi dire : "mais comment je sais quel vecteur propre je mets en premier dans la matrice de passage". Eh bah en fait c'est toi qui choisit, simplement si tu mets le vecteur propre associé à la valeur propre 1 en premier, lors du calcul de ta matrice diagonale (U^(-1)*A*U), la valeur propre 1 sera dans la première colonne de ta matrice diagonale et la valeur propre -1 sera dans la deuxième (puisque nécessairement tu auras mis le vecteur propre associé à la valeur propre -1 dans la deuxième colonne de ta matrice de passage). Voila je te conseille de faire des essais pour bien te convaincre que ce que je dis est vrai !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitede0a73cf]

Nn, en fait le deuxième vecteur n'a pas été pris au hasard mais calculer pour ta deuxième valeur propre (-1 si je ne me trompe pas).
Après la relation que tu as est U(-1)AU = D où D est la matrice diagonale que tu as calculé (U est ta matrice de changement de base e U(-1) sa matrice conjugué).
Voila