Caractères et groupe dérivé.

[invitebb921944]

Bonjour,
en théorie des représentations linéaires des groupes finis, on a l'équivalence suivante que je ne parviens pas à démontrer :
où représente le caractère associé à la représentation .

C'est l'implication réciproque qui me pose problème.
Merci.
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[invitebb921944]

En fait j'ai trouvé merci !
Il faut simplement considérer la représentation régulière sur , où désigne la surjection canonique est alors une représentation de de noyau car la représentation régulière est fidèle.
Le résultat est alors immédiat !

[invitebb921944]

En fait je me suis un peu emballé...

[invitebb921944]

Bon alors supposons que pour toute représentation de dimension .
Supposons aussi qu'il y a n telles représentations. ().

Chacune se factorise en une représentation .

On considère la représentation régulière de avec .

Chacune des représentations précédentes apparait avec multiplicité dans la décomposition en irréductibles de la représentation régulière donnée précédemment.

On en déduit pour notre fixé que s'écrit comme une matrice diagonale ayant pour valeurs propres les car le nombre de représentations de dimension de est égal au cardinal de , c'est-à-dire à la dimension de .

On a alors que si pour tout , et comme est une représentation fidèle, et .

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