Bonjour,
Voici un exercice que je n'arrive pas à résoudre:

1 - Montrer que si l'application linéaire est injective, alors l'est également.

2 - Soient A et B 2 sous espaces de dimension k d'un espace vectoriel V. Soient et les inclusions respectives de A et B dans V. Elles induisent, respectivement, les applications linéaires : et . Montrer que si ces deux dernières ont même image, alors A=B.

3 - Soit n=k+l. Alors, on a defini par : . Montrer que g est un isomorphisme quand n = dimV.
(où est l’ensemble des applications linéaires de dans )

4 - Déduire que tout élément de peut s'écrire pour des vecteurs choisis, quand dimV = n.

5 - Soient un espace vectoriel, un sous espace de de codimension 1, et . Montrer que assigne est un isomorphisme d'espaces vectoriels

Voici mes tentatives pour le moment :

1 – Je procède par récurrence.
Pour k=1, la propriété est vraie, par hypothèse : T est injective.
Ensuite, fixons k et supposons que alors est injective. On veut montrer que l’est aussi.
On a : alors où T et sont injectives.

On voit que :

Ce qui implique, par injectivité de et :

OU
Ce qui amène, dans les 2 cas à

Et donc, est injective.

Donc, par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout k.

2 – Pour la 2ème question, j’ai un peu plus de mal :
D’abord, on sait que les inclusions et sont injectives, et donc, d’après 1-, et le sont aussi.
On suppose maintenant que et ont même image ; et on note cette image ; c’est un sous-espace de .
Donc, on obtient 2 isomorphismes (applications linéaires bijectives) :

Et .
Par transitivité, et sont isomorphes.
Là, je suis bloqué, et je ne vois pas comment déduire que A=B. Par contradiction, peut-être ?

Pour les questions 3, 4 et 5, je cherche un point de départ, je sais pas comment partir dans mon raisonnement.

Merci de votre aide.