Sobolev et convergence dominée

[invitede8302a1]

Bonjour,

Voila mon problème :

omega = ouvert de R
W 1,p (omega) = l'ensemble des fonctions Lp(omega) à dérivée dans Lp(omega)


si Un et Vn sont des suites de fonctions infiniment dérivables approchant U et V dans W 1,p (omega)

c'est-a-dire Un tend vers U dans W 1,p (omega)
Vn tend vers V dans W 1,p (omega)

je ne comprends pas pourquoi la limite de l'intégrale de UnVn est egale a l'intégrale de UV...

je montre la convergence simple pour une sous suite de UnVn vers UV, mais je ne vois pas pourquoi UnVn est majorée par une fonction intégrable indépendante de n....


Merci
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[KerLannais]

Salut,

Si p=2 ou si une des suite est dans avec alors c'est simple. Si les deux suites sont dans alors tu n'est même pas sûr que l'intégrale de UV ait un sens (sauf peut-être si utilise des injections de Sobolev, j'ai pas regardé ce que ça donnait). Si la suite est dans alors:


et il est clair que ce dernier terme tend vers 0 quand n tend vers l'infini et ça démontre ce que tu veux.

[invitede8302a1]

Bonsoir KerLannais,

Merci de ton aide, effectivement en utilisant le fait que l'application qui a U dans un sobolev associe son représentant continu est continue, j'arrive à conclure.