Résultat Wilson

[invitef978daf1]

Bonsoir
on demande de démontrer à partir du théorème de Wilson que
((2n+1)!)² est cngr à 1 mod (4n+3)
sachant que 4n+3 est un nombre premier.
Merci d'vance.
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[leon1789]

Peux-tu nous donner le théorème de Wilson pour commencer ?

[NicoEnac]

p est premier si et seulement si (p-1)! + 1 congru 0 [p]

[leon1789]

p est premier si et seulement si (p-1)! + 1 congru 0 [p]

ok, autrement dit (p-1)! est congru à -1 modulo p

(p-1)! est le produit des entiers de 1 à p-1

Imagine p impair (plus tard, on posera p=4n+3...)
On coupe alors en deux l'intervalle 1..(p-1) en, d'un coté les entiers de 1 à (p-1)/2 et, de l'autre coté, les entiers de (p+1)/2 à p-1 (prends p = 7 comme exemple)

Modulo p, les entiers de (p+1)/2 à p-1 sont congrus aux entiers de -(p-1)/2 à -1, donc tu peux réécrire (p-1)! modulo p comme un produit d'entiers compris entre 1 et (p-1)/2. Lequel ? Comment ?

à toi

[A voir en vidéo sur Futura]