Développement limité de fonctions composées

[invite898aa9a4]

Bonjour à tous,

Je révise sur les développement limités et j'ai quelques soucis avec les grosses fonctions.

Par exemple pour en 0.

Il faut développer une fois cos en 0 et une fois cos en 1.

On a donc:

si x->0

et

si x->1

pour trouver le DL de on introduit le premier DL dans le 2ème. Mon problème est que je n'arrive pas à comprendre quels termes sont "mangés" par le grand O et quels termes ne le sont pas. on pourrait calculer les puissance des polynômes et enlever les termes d'ordre supérieur à celui du grand O, mais si on a un polynôme de 5 termes a la puissance 4, on s'y perd vite...

Pareil avec les fonctions du type où une multiplication apparaît. Impossible d'arriver à une réponse correcte avec mes exercices.

on peut bien sûr le faire "à la barbare", mais pour trouver certains extrema pour des fonctions comprenant beaucoup de termes, ça devient rapidement fastidieux.

Merci d'avance pour vos réponses
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[KerLannais]

Salut,

Il faut effectivement éliminés les termes qui ont un exposant supérieur ou égal au grand O. Un conseil, quand tu développe des expressions, tu peux savoir à l'avance quel va être leur exposant et donc tu peux ne pas les calculer ce qui fait qu'un DL n'est pas trop pénible, sauf si bien sûr tu veux aller loin. Par exemple le DL à l'ordre 3 de en 0:


Quand tu compose les développements limités, quand tu calcule tu peux directement dire:

Tu utilise la formule du binôme pour développer et tu t'arrète dès que les exposants deviennent trop grand. Sinon un autre conseil, essai de te ramener au maximum à des DL au voisinage de 0 on se trompe moins en général. De plus, pour savoir jusqu'où il faut aller pour l'ordre je te conseille de commencer par développer l'expression la plus à l'extérieur (après avoir déterminer la limite de chacun des termes pour savoir où développer le terme extérieur). Tu le développe jusqu'à l'ordre demandé, là tu n'as pas le choix. Ensuite tu regarde dans cette expression jusqu'où tu dois développer le terme intérieur. Dans l'exemple que j'ai pris apparaît en facteur d'une constante, on est donc obligé de le développer jusqu'à l'ordre 3 aussi. Mais si apparaît seulement à un exposant plus grand que il se peux que tu n'ai pas besoin de développer aussi loin mais là il faut faire très attention. Par exemple dans le DL à l'ordre 3 en

de

tu peux utiliser


ainsi: