fonction périodique d'énergie minimum

[acx01b]

Bonjour,

quelle est la fonction minimisant l'intégrale du carré de sa dérivée seconde ?

sous les contraintes : f est 2 fois dérivable, périodique de période 2Pi, et max(f) = 1, min(f) = -1



tel que min f = -1, max f = 1

merci !
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[KerLannais]

Salut,

Je propose

avec n'importe quel nombre réel fixé. On a alors:

Si tu veux une preuve je peux te l'envoyer, je l'ai tapé en latex elle fait 2 pages.

[KerLannais]

oups désolé en fait je voulais dire, paire et -périodique définie sur par:

ainsi que les fonctions:

pour un réel quelconque.

[NicoEnac]

Je veux bien la preuve par message perso parce que là je ne vois pas comment partir. En tout cas bien joué !

[A voir en vidéo sur Futura]

[KerLannais]

Re,

Ok, je vais donner le début de mon raisonnement. On prend une fonction de dans deux fois dérivable (en fait on peux même la prendre de classe pour éviter de considérer des intégrales de fonctions pas forcément continues, cela dit on peut adapter la preuve à des fonctions qui sont seulement par densité) -périodique de maximum et de minimum . Comme est continue et périodique on sait qu'elle atteint ses bornes dans une période. Quitte à la translater on peut toujours supposer que et que pour un certain . On a alors, puisque ce sont des extremums d'une fonction dérivable:

et:


Si on applique simplement l'inégalité de Cauchy-Schwarz on obtient une première minoration qui est mauvaise car il y a moyen de minorer plus finement. On a:

soit:

Ce que j'ai fait c'est une majoration plus fine en utilisant seulement Cauchy-Schwarz mais de façon plus rusée et le cas d'égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz donnent les fonctions minimisantes. Ma preuve est du niveau prépa à priori.

[KerLannais]

En fait autant pour moi on a une minoration en

quand on fait pas d'erreur de calcul.