Probas-Stats, loi conditionnelle.

[invitebb921944]

Bonjour, j'ai l'énoncé suivant :
Soit où est un paramètre, suit la loi , la v.a. suit la loi de densité sur , et est independant de .
Question : Déterminer la loi conditionnelle de sachant , puis la loi jointe de et .

Je dois donc déterminer (je crois).
Ici, et est un borélien de d'après ce que j'ai compris.
Je voulais donc commencer par calculer Le problème, c'est que si je remplace le par le petit , je n'ai pas égalité entre mes deux événements.
Comment faire ? Et est-ce bien cela qu'on me demande ?

Merci.
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[inviteaeeb6d8b]

Bonjour,

tu dois déterminer une loi conditionnelle, mais ici est discrète (et même binaire), tu as donc à déterminer (seulement) :


Or où est la fonction de répartition de la loi .

Ainsi la loi conditionnelle de sachant est une loi de Bernouilli de paramètre .

[invitebb921944]

Mais que soit discrète ou à densité on s'en fiche ?
Parce que l'événement est de probabilité nulle a priori donc je ne vois pas pourquoi ce que tu écris à un sens.

[inviteaeeb6d8b]

Tu peux également procéder de la manière suivante :
regarder et tu trouveras le même résultat.


Oui, l'événement est de probabilité nulle. Et alors ? Cela n'empêche pas d'étudier la loi de sachant que cet événement s'est produit.

EDIT : si et sont à densité, on peut voir la notation suivante de la densité conditionnelle de sachant :

ou parfois

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

Merci pour ton aide.

[inviteaeeb6d8b]

Si j'ai pu t'aider, tant mieux

[invitebb921944]

On me dit ensuite de déterminer la loi jointe de et . Cette fois, la probabilité est nulle a priori. J'ai donc le même problème que précédemment... Que veut-on que je calcule exactement ?
Car encore une fois, ne se calcule pas !

[inviteb7a5e934]

Bonsoir,

si tu as la loi conditionnelle de Y sachant X alors tu peux calculer facilement la loi du couple :


Maintenant, c'est peut-être le calcul de la loi conditionnelle qui te pose problème...

[inviteaeeb6d8b]

Bonsoir bonsoir,

Il s'agit d'abus cumulés d'écriture, mais on a bien :


et :


Et si on veut mêler le tout :

[invitebb921944]

Bien merci à vous deux. Ce sont tous ces abus d'écriture qui me posent problème mais ça va venir...

[invitebb921944]

Bon en fait j'aimerais bien déméler un peu tous ces abus d'écriture justement parce que je m'y perds un peu.
On me demandait une loi conditionnelle, j'ai calculé alors qu'a priori, n'est pas du tout discrète.
Soit mais ensuite, il aurait été intuitif de calculer la fonction de répartition du couple pour calculer sa loi, c'est-à-dire , ce qui n'est pas calculable directement puisque je n'ai pas mais seulement .
Romain-des-Bois tu écris : .
Ce qui me gêne ici, c'est que dans la formule , on manipule des densités.
Pourquoi alors peut-on identifier à ?

Merci pour votre aide en tout cas.

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour,

Première remarque : je n'ai pas forcément le recul nécessaire pour ne pas faire d'erreurs de jugement dans la suite.

Deuxième remarque : j'ai eu de nombreux cours de stats cette année. En statistique, on se permet - j'ai l'impression - beaucoup d'abus d'écritures (qui se justifient) et qui permettent de déterminer des résultats rapidement.
Dans mon cours de théorie de la mesure, j'ai vu les lois à densité par rapport à la mesure de Lebesgue. En statistique, on écrit des "densités" par rapport à des mesures discrètes. Ainsi, si suit une loi de Bernouilli de paramètre on peut écrire sa "densité" de la façon suivante :


L'identification se justifie :
où est la mesure de comptage qui "charge" le singleton contrairement à la mesure de Lebesgue.


Troisième remarque : la loi conditionnelle de est une loi discrète, il ne faudrait donc pas écrire sa densité (c'est pourtant ce que j'ai fait) :


Quatrièmement : La loi jointe de est ni absolument continue, ni discrète. Il y a donc là aussi un "abus" d'écriture.

Enfin : pour déterminer la fonction de vraisemblance dans le cadre de données censurées, on doit déterminer une loi jointe qui n'est ni absolument continue, ni discrète (la première composante suit une loi absolument continue, et l'autre est binaire, c'est comme dans ton exemple). Dans tous les articles que j'ai vus traitant du sujet (je n'en ai pas forcément vus beaucoup !), on fait ces mêmes abus d'écriture (plus ou moins justifiés).

Bon courage !

[invitebb921944]

Merci beaucoup pour cette réponse très détaillée .