probas et loi binomiale/de Bernoulli

[Romain-des-Bois]

Bonjour à tous !

j'ai quelques petits problèmes avec des exos sur les probas, faisant intervenir un schéma de Bernoulli.
L'épreuve de Bernoulli est : l'usine d'empaquetage reçoit un pain. soit elle l'accepte (S), soit elle le refuse (E) car le poids est trop faible.
On me dit 7 pains sur 100 sont refusés.
Donc la probabilité de E est 7/100

On a des questions intermédiaires.
Puis :
on répète 10000 fois.
Y est la variable aléatoire qui représente le nombre de pains refusés.

Donc Y = {0;1;2; ... ; 10000}

déterminez la loi de proba de Y ?

Alors ou j'en ai pour des heures : Y=0; Y=1 ...

ou je dis : P(Y=k) = (k parmi 10000) x P(S)^k x P(E)^(10000-k)

avec k appartient à [0;10000]

mais je n'ai pas fait grand chose ...

Puis on me demande l'espérance et la variance.
E(Y)= n.P(S) = 700
V(Y) = n.P(S).P(E) = 651


------------------------------------------

Puis j'ai une histoire de pièces truquées ...

3 pièces dont une truquée : 2 faces
Fn = événement : on obtient face sur les n premiers lancers

alors je trouve Fn = (1/3) (1+ (1/2)^n) (c'est juste)

sachant que l'on a obtenu face pour les n premiers lancers, quelle est la proba d'avoir pris la pièce truquée ?
si on a obtenu que des faces, c'est que P(Fn)=1
je sors n et je trouve (je pense que c'est juste) n=1

je le mets dans la proba de la pièce truquée (que j'ai trouvée avant), et j'ai P("pièce truquée") = 1/3

car P(Fn inter Pièce truquée) = (1/3) * 1^n


et après on me dit : limite de cette proba quand n tend vers plus l'infini ?
c'est aussi 1/3

Je trouve ca bizarre.

Si je n'ai que des faces, j'ai une chance sur 3 d'avoir pris la pièce truquée, alors qu'il y a 3 pièces !!!

Si vous vouliez bien me donner quelques indications ...


Merci à tous !
-----

[Josquin]

Bonjour !

Déjà, ton exo avec les pains il est fait ! Je ne vois pas vraiment où est le problème ? Si on te demande la loi, l'espérance et la variance, alors tu ne peux rian faire s'autre que ce que tu as déjà écrit. Pour l'exercice des pièces, je prends un papier et un crayon et on en reparle.

A plus !

Josquin

[matthias]

Tu n'aurais pas inversé les puissances pour P(S) et P(E) ?

[Josquin]

3 pièces dont une truquée : 2 faces
Fn = événement : on obtient face sur les n premiers lancers

alors je trouve Fn = (1/3) (1+ (1/2)^n) (c'est juste)

Moi je trouve p(Fn) = (1/3) (1+ 2 (1/2)^n)... peut-être que je me suis trompé...

sachant que l'on a obtenu face pour les n premiers lancers, quelle est la proba d'avoir pris la pièce truquée ?
si on a obtenu que des faces, c'est que P(Fn)=1
je sors n et je trouve (je pense que c'est juste) n=1

Non !!! Ce n'est pas parce qu'un événement se réalise que sa probabilité est de 1 !!! La probabilité de Fn est toujours celle qu'on a déterminée. D'ailleurs, tu as un moyen de voir que ton raisonnement est faux. Tu dis : "voyons-voir, on a obtenu n face, donc p(Fn) = 1, donc je trouve que n = 1. Or, existe-t-il des cas où on peut avoir n face sans que n = 1 ? Oui, il suffit de prendre n = 2. En effet, il est possible d'obtenir 2 face après 2 lancers. Or 1 pas égal à 2, donc mon raisonnement est faux !"

Je suppose que tu es en 1ère ou en terminale, donc tu ne dois pas connaitre la formule de Bayes. De toute façon, c'est facile. Regarde.

J'appelle T l'événément "choisir la pièce truquée". A et B étant des événements de proba non nulle, je note p(A/B) la proba de A sachant B. Je note "et" l'opération "intersection".

Ici, ce que tu cherches, c'est p(T/Fn), on est d'accord ? Tu écris la relation des probabilités conditionnelles : p(T/Fn) = p(T et Fn)/p(Fn). Or p(T et Fn) = p(Fn/T)*p(T). Donc, p(T/Fn) = [p(Fn/T)*p(T)]/p(Fn). p(Fn) on connaît, p(Fn/T) c'est 1, et p(T) c'est 1/3. Donc, tu trouves une relation en fonction de n, et vraie pour tout n. Et le tour est joué !

Cordialement,

Josquin

[A voir en vidéo sur Futura]

[Josquin]

Tu n'aurais pas inversé les puissances pour P(S) et P(E) ?

Je pense que Matthias a raison. Mais bon a part ça, l'esprit c'est ça.

[Romain-des-Bois]

alors je trouve Fn = (1/3) (1+ (1/2)^(n-1)) (c'est juste)

Arghhh je me suis planté en recopiant : il fallait lire ca !



Avec mon erreur corrigé, ca doit marcher non ?

Josquin : tu trouves la même proba que moi : 1/3 ! donc ...

Merci pour ta méthode. Effectivement je suis en TS. et je connaissais pas.

Merci à tous les deux !

[Josquin]

Josquin : tu trouves la même proba que moi : 1/3 ! donc ...

Comment ca ? à quel exo ? je trouve 1/3 pour quelle proba ???

[Romain-des-Bois]

Je crois qu'en fait je n'ai pas bien compris ton raisonnement Josquin..

[Josquin]

C'est où que tu comprends pas ? Quel passage ?



Le principe c'est d'écrire p(A/B) en fonction de p(B/A) :

p(A/B) = p(A et B)/p(B) = [p(B/A)*p(A)]/p(B). Ca c'est bête et méchant : on applique deux fois la définition d'une proba conditionnelle. (tu as fait les probas conditionnelles ???)

Si tu as compris ca, alors ca devrait aller sans problème.




Avec A = T et B = Fn, on obtient ça (le résultat que j'ai écrit dans mon premier post) :

p(T/Fn) = [p(Fn/T)*p(T)]/p(Fn)

On a démontré que p(Fn) = (1/3) [1+ (1/2)^n-1].

On a également : p(T) = 1/3 (on tire les pièces au hasard).

Enfin, p(Fn/T) = 1, car si on a tiré la pièce truquée, on tombe à coup sûr sur face.





Donc on endéduit la relation qui nous interesse :





p(T/Fn) = 1/[ 3 (1+ (1/2)^n-1)]





Et voilà le travail !

C'est plus clair comme ça ?

A plus !

Josquin

[Josquin]

Et pour finir l'exo, tu fait tendre n vers l'infini... et c'est très bizzare, parce qu'on s'attend à trouver 1, et on trouve 1/3, en effet, ce qui est gênant... les maths sont bizzares des fois, mais là, je pense que c'est faux...!

Je revérifie mes calculs...

[Josquin]

p(T/Fn) = 1/[ 3 (1+ (1/2)^n-1)]

Non, ca va, c'est juste une erreur de calcul !!! Le 3 est en trop, on a un "1/3" dans p(Fn) (que j'ai oublié) et un autre "1/3" dans p(T), et les deux se simplifient, ce qui donne en fait :

p(T/Fn) = 1/[(1+ (1/2)^n-1)]

Et ce machin tend bien vers 1 quand n tend vers l'infini !

Ouf !

[Romain-des-Bois]

Merci beaucoup Josquin !!!

Excuse moi de n'avoir pas compris plus vite ...


----
Et oui j'ai fait les probas conditionnelles

----

fallait pas t'énerver ...

[Josquin]

Je me suis pas énervé !!! Désolé si ca en avait l'air !!! Si tu as compris la 2e fois mais pas la 1ere, c'est que c'était pas assez clair !
En fait, j'adore expliquer des trucs aux gens, je veux être prof plus tard, alors si tu as encore des questions, hésite pas !!!!

A plus

Josquin