Matrice symétrique

[zeratul]

Bonsoir,

j'ai un petit problème, pouvez-vous m'aider? :

soient A,B de Mn(R) symétriques. Est ce que AB est diagonalisable?

(On sait donc que A et B sont diagonalisables, mais après...?)

merci!
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[Thorin]

Peut être peux tu essayer de raisonner sur les valeurs propres de AB ?

[zeratul]

Je propose un truc :

A et B sont diagonalisables. Donc il existe P tel que P^-1AP=D et P^-1BP=D'.
Donc A.B = (PDP^-1).(PD'P^-1) = PD.D'P^-1 = PD"P^-1.

Donc AB diagonalisable.

Est-ce correct?

[Thorin]

Qui te dit que le P est le même pour les 2 matrices ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Coincoin]

Salut,
Ce n'est pas correct car il n'y a pas de raison que A et B soient diagonalisables dans la même base.

[zeratul]

Peut être peux tu essayer de raisonner sur les valeurs propres de AB ?

Humm, je ne vois pas très bien : on ne connait rien à priori sur AB, à la limite, on pourrait étudier les valeurs propres de A et B au contraire?

[Thorin]

a priori, on ne connait rien, mais on peut quand même chercher d'éventuelles valeurs propres de AB, avec celles de A et de B.

Peut etre que tu t'y retrouveras mieux en mettant A et B sous forme de 2 endomorphismes u et v, et AB étant la composée de u et de v.

[zeratul]

Alors dans ce cas,

soit l valeur propre de u, et m valeur propre de v.
On a : u(x)=l*x et v(x)=m*x. Donc u o v(x) = l*m*x et lm est valeur propre de uov.
Les valeurs propres de AB sont le produit des valeurs propres de A et B.

Ca me parait faux, ca doit etre un gros piège non?

[invite9cf21bce]

Bonsoir.

Si tu veux que AB soit diagonalisable sur , c'est probablement faux :




Taar.

[zeratul]

Bonsoir.

Si tu veux que AB soit diagonalisable sur , c'est probablement faux :




Taar.

Je viens en fait de trouver presque le même contre-exemple!

Merci en tout pour votre aide. (toujours est-il que c'est un peu obscure cette histoire...)